复变函数06课件.ppt

第三节 洛朗级数 第五章 留数 其中?(z)是z0邻域内解析的函数, ?(z0)≠0. 反之, 如果f(z)在z0的某去心邻域内可以表 示成上式的形式，则z0是f(z)的m级极点. 从上面的讨论, 我们得到如下定理： ?定理 设f(z)在孤立奇点z0的去心? 邻域内 解析, 则z0是f(z)的m级极点的充要条件是: f(z)可表为 的形式, 其中?(z)在z0解析, 同时?(z0)≠0. ?推论 在上面定理的假设下, z0是f(z)的m级 极点的充要条件是 ?由上节学习的泰勒级数，我们知道若函 数f(z)在点z0解析，则函数f(z)能在以z0为 中心的某个圆域内唯一地展开成(z?z0)的 幂级数. ?若函数f(z)在点z0不解析，它是否能展开 成(z?z0)的级数？若能展开，展开式的形 式是怎样的？展开式成立的范围是什么？ 这就是本节主要研究的问题. ?洛朗级数及其收敛圆环 ?洛朗级数 作为幂级数的推广，我们把形如 的级数称为洛朗级数. 其中z0及cn (n = 0,±1,…) 是复常数. ?当c-n = 0 (n =1,2,…)时，上式就是幂级数. ?洛朗级数的收敛圆环 为了讨论洛朗级数的收敛域, 现在我们把 洛朗级数分成两部分 称为洛朗级数的解析部分和主要部分. ?若洛朗级数的两个部分在点 z = ? 都收敛, 则称洛朗级数在点 z = ? 收敛. 收敛 发散 ?洛朗级数的解析部分是幂级数 设其收敛半径为R2 , 则洛朗级数的解析 部分在圆| z?z0|=R2 内收敛；在圆外发 散。 ?对于洛朗级数的主要部分, 令? = (z?z0)?1, 则此级数为? 的一个幂级数 设此级数的收敛半径为R, 则当|? | R时, 级数收敛; 当|? | R时, 级数发散； ?因此对于洛朗级数的主要部分 ?令R1=1/R , 由前面的讨论可知, 若R1R2 , 则当R1| z ? z0|R2时, 级数两个部分都收 敛, 从而洛朗级数收敛; 当| z?z0|R1或|z?z0|R2时, 洛朗级数发散. ?如果R1R2,洛朗级数的两个部分没有同时 收敛的区域, 洛朗级数处处发散. 就是说, 如果洛朗级数存在收敛域, 则其收敛域必 是一个圆环域: R1|z ? z0|R2. 收敛 发散 洛朗级数收敛圆环图示 ?洛朗级数也有与幂级数类似的分析性质. 定理 洛朗级数在其收敛圆环内其和函数 解析, 而且可以逐项求导和逐项积分. ?因此, 洛朗级数求和, 求收敛圆环问题就 化成了两个幂级数:洛朗级数的解析部分 与主要部分(变形)的求和,求收敛圆的问题. ?洛朗展开定理 洛朗级数的收敛域是个圆环域, 而且其和 函数在该圆环域内解析. 下面我们讨论在一个圆环域内解析的函数 展开成洛朗级数的问题。 ?洛朗定理 设f(z)在圆环域R1 | z? z0| R2内解析, 则 f(z)一定能在此圆环域内展开为 ?洛朗定理 这里C为此圆环域内围绕z0的任一条正向 简单闭曲线. ?一个在圆环域R1|z－z0|R2内解析的函数 f(z)的洛朗展开式是唯一的。 ?与泰勒展开法一样, 在圆环内解析的函数 f(z)的洛朗展开同样有直接法与间接法。 ?例 分别用直接法与间接法把 在 以z = 0为中心的圆环域0 |z| +∞内展开 成洛朗级数. 解 间接法:由于在整个复平面内, 有 于是在0|z|+∞内, 有 直接法:由洛朗定理系数公式 其中C为围绕z=0的一条正向简单闭曲线. 当n+3 ? 0 , 即n ?－3时, 由于ez z-n-3在复平 面处处解析, 故在C上及其内部解析, 由柯西定理知cn= 0 (n ?－3). 当n+3?1,即n?-2时, 由高阶导数公式知 将所求系数代入洛朗级数中, 即得与间接 法相同的展式. ?注意在z = z0为心的圆环内展开f(z), 就是 要把f(z)展成的 形式, 因此如果f (z)是(z-z0)kg(z)的形式, 利用间 接法展开时,不管整数k是正是负,只对g(z) 本身进行展开就可以了. ?例 将 分别在下列圆 环域展开为洛朗级数. (1) 0|z|1; (2)1|z|2; (3) 2|z|+∞；(4) 0|