复变函数1课件.ppt

x1 x2 x3 o z(x,y) x y P(x1,x2,x3) x1 x2 x3 N(0,0,2r) 除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数. 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作?.这样的球面称作复球面. 扩充复数域---引进一个“新”的数∞: 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞. 约定: 注意：1.对于实变量，∞有正、负之分；对于复变 量，∞没有符号. 2. 这些运算无意义： * 复变函数与积分变换 柴振华 数学与统计学院 科技楼（南）836 Email: hustczh@126.com Tel: 通　知 一、??? 以班为单位买练习册（每册五元） 时间地点：本周 周一 —— 周六（上午，下午）； 科技楼（南）609； 二、??? 每周一次答疑 时间地点：每周二晚上７：００～９：３０； 科技楼（南）813； 三、 推荐参考书 钟玉泉：《复变函数》 余家荣：《复变函数》 复变函数的应用领域 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具 数学领域： 微积分的计算（Chapter 5） 微分方程的求解 (Chapter 9) 计算方法（数值分析）中数值方法（有限差分）的稳定性分析(Von Neumann稳定性分析) …… 流体力学中圆柱（圆球）的受力理论分析 （通过复变函数建立平面场的数学模型，Imai, Proc. R. Soc. Lond. A 1954, 224: 141-160）（如，河道中桥墩的受力……） … 力学领域： 流体力学中湍流的频谱分析 : 航空、航天、能源、化工… Leonardo da Vinci 物理学领域： 电场的计算 （稳定平面场） 电磁场（信号数据分析） ….. 工程技术领域： 图像、信号处理（小波分析）：医学、航空航天、工程… 数据处理与分析：工程应用 新兴的现代计算方法（技术）：以小波分析为基础的流体力学计算方法(Schneider Vasilyev, Annu. Rev. Fluid Mech., 2010, 42:473-503) … 复变函数（复分析）是对微积分（高等数学、数学分析）的进一步深入与推广…… 复变函数的起源 一、在十六世纪中叶，G. Cardan (1545) 在研究一元三次 方程时产生了对负数开方的思想----复数的产生. 二、到十七与十八世纪，微积分的产生与发展为复变函数的产生创造了条件。特别是由于 L.Euler的工作，复数起了重要的作用： 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。 三、C. Wessel (挪威.1745-1818)和R. Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面向量或点来表示，以及K. F. Gauss (德国.1777-1855) 与W.R.Hamilton (爱尔兰.1805-1865) 定义复数 为一对有序 至此，“复变函数”这一数学分支得以建立和发展！ 实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑. 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。 第一章 复数与复变函数 §1.1复数及其表示法 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 . 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础. x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), . 称为 Z 的共轭复数。 与实数不同, 一般来讲，任意两个复数不能比较大小. 两个复数相等 他们的实部和虚部都相等 特别地， 1.代数形式 : 复数的表示法 1)点表示 y z(x,y) x x 0 y 复平面 实轴 虚轴 z(x,y) XOY上点 ? 复平面 2) 向量表示 ----复数z的辐角(argument) 记作Arg z=q . 任何一个复数z?0有无穷多个幅角,将满足 -p q0?p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .