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第五章 留数（残数） 第一节 孤立奇点 第二节 留数（或残数 Residue） 第三节 留数在定积分计算中的应用 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 1.定义: 第 二 节 留 数 注: 例1 求下列各函数在孤立奇点的留数 第 二 节 留 数 解: 第 二 节 留 数 定理1（留数定理）: 第 二 节 留 数 证明: 第 二 节 留 数 2. 留数的计算方法 第 二 节 留 数 证明: 第 二 节 留 数 规则I: 规则II: 证明: 第 二 节 留 数 注: 第 二 节 留 数 例2 求下列各函数在有限奇点处的留数 解: 第 二 节 留 数 第 二 节 留 数 第 二 节 留 数 规则III: 证明: 第 二 节 留 数 例3 计算下列积分. 解: 第 二 节 留 数 解: 第 二 节 留 数 解: 第 二 节 留 数 3. 无穷远点的留数 定义: 第 二 节 留 数 R C 定理2（扩充复平面内的留数定理）: 第 二 节 留 数 注: 证明: 第 二 节 留 数 规则IV: 解: 第 二 节 留 数 第 二 节 留 数 解: 第 二 节 留 数 解: 第 二 节 留 数 本节介绍利用留数计算几种特殊类型的定积分. 解法: 第 三 节 留 数 在 定 积 分 计 算 中 的 应 用 第 三 节 留 数 在 定 积 分 计 算 中 的 应 用 解: 第 三 节 留 数 在 定 积 分 计 算 中 的 应 用 * * PP183-185 1 双号；2；4；6；8 双号； 9 单号；10；11；12；13 第一节 孤立奇点 第二节 留数 第三节 留数在定积分计算上的应用 第四节 对数留数与辐角原理 留数理论是Cauchy积分理论的继续，在复变函数论中及实际应用中都很重要。留数的概念是在计算函数沿绕“孤立奇点”圆域的复积分引出的，从而和计算考察围线积分的问题密切相关。 1.定义: 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 解: 2.孤立奇点的分类 定义:1)可去奇点: 第 一 节 孤 立 奇 点 2）极点 第 一 节 孤 立 奇 点 3）本性奇点 可去奇点的特性: 第 一 节 孤 立 奇 点 极点特性: 第 一 节 孤 立 奇 点 3.综上论述，有下列奇点判别方法 例2 求下列各函数的奇点，并判别类型. 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 补充定理: 第 一 节 孤 立 奇 点 4.零点与极点的关系: 定义: 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 定理1. 证明: 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 定理2. 极点与零点的关系 证明: 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 5.函数在无穷远点的性态 定义: 注: 第 一 节 孤 立 奇 点 R Z 第 一 节 孤 立 奇 点 规定: 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 第 一 节 孤 立 奇 点 此外，与有限奇点类似: 第 一 节 孤 立 奇 点 例7 讨论下列函数在扩充复平面内的奇点，并判别 解: 第 一 节 孤 立 奇 点 类型.