复变函数与积分变换课件课件.ppt

第六章 留数理论 第一节 孤立奇点 一、孤立奇点 本性奇点 二 函数的零点与极点的关系 四、小结 * §6.1 孤立奇点 §6.2 留数定理 §6.3 留数的计算 §6.4 留数定理的应用 一、孤立奇点的概念和分类 二、函数的零点与极点的关系 三、小结与思考 1 定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 例如 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 奇点并不一定都是孤立的。 例如: 的孤立奇点. 2 孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 可去奇点 洛朗级数中不含 的负幂项 极 点 洛朗级数中含有限个 的负幂项 本性奇点 洛朗级数中含无穷多个 的负幂项 其和函数 为在 解析的函数. 说明: (1) 1)可去奇点 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点. 定义 (2) 无论 在 是否有定义, 补充定义 则函数 在 解析. 若 为 的可去奇点， 则 存在 性质 如果补充定义: 时, 那末 在 解析. 例1 函数 中不含负幂项, 故 是 的可去奇点 . 的孤立奇点 的类型 解： 2) 极点 其中关于 的最高幂为 即 阶极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 说明: 的极点 , 则 为函数 如果 定义式可改写为： 性质 其中， 且 例2 函数 是三阶极点, 是一阶极点. 课堂练习 求 的奇点, 如果是极点, 指出它的 阶数. 答案 解 解析且 所以 不是二阶极点, 而是一阶极点. 例3 问 是 的二阶极点吗? 注意: 不能以函数的表面形式作出结论 . 3) 定义 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 例如， 含有无穷多个z的负幂项 性质： 不存在且不为 同时 不存在. 的本性奇点 , 则 为函数 若 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m阶极点 本性奇点 洛朗级数特点 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 关于 的最高幂 为 1 零点的定义 不恒等于零的解析函数 如果 能表示成 其中 在 解析且 m为某一正整数, 那末 称为 的 m 阶零点. 例6 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. 2 零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: 设 的泰勒展开式为: 如果 在 解析, 那末 为 的 阶 如果 为 的 阶零点 其中 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: 并且 充分性证明略 . (1)由于 知 是 的一阶零点 . 课堂练习 是五阶零点, 是二阶零点. 知 是 的一阶零点. 解 (2)由于 答案 例4 求以下函数的零点及阶数: (1) (2) 的零点及阶数 . 求 3 零点与极点的关系 定理 如果 是 的 m 阶极点, 那末 就是 的 m 阶零点. 反过来也成立. 说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法. 例5　求 的孤立奇点, 并指出 奇点的类型. 解 显然, 是 的零点，但是 故 是 的1阶零点. 因此, 是 f (z)的1阶极点 . 推论　设 z0是P(z)的m阶零点, 也是Q(z)的n阶零点, 则当nm时, z0是f (z)的n-m阶 极点; 而当n?m时, z0是f (z)的可去奇点. 例6　考虑函数 设 显然, z=0是Q(z)的5阶零点. 因为 所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3阶极点 . 不是5 阶极点! 例7 函数 有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的阶数. 解 函数 除点 外, 所以这些点都是 的一阶零点, 故这些点中除1, -1, 2外, 都是 的三阶极点. 内解析 . 在