复变函数讲义第6章课件.ppt

第六章 留数理论 第一节 孤立奇点 一、孤立奇点 本性奇点 二 函数的零点与极点的关系 四、小结 第二节 留数定理 4.2.1 留数定义及留数基本定理 第三节 留数的计算 小结 留数定理 留数的计算法则 第三节 留数在定积分计算上的应用 一、形如 的积分 形如 二、形如 的积分 三、形如 的积分 四、小结与思考 本章内容总结 即 定义 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分 小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单曲线， 积分 称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数. 留数定理 设函数f (z)在区域D内除有限 个孤立奇点 外处处解析, C是D内 包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单 闭曲线, 则 根据留数定理, 函数在闭曲线f (z)上的积分可 归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算 问题. 证明　分别以 为 中心, 作半径充分小的正向圆周 . . . … C1 C2 Cn 使得它们中的每个 都在其余的外部, 而都在C的内部. 根据 , 再由留数的定义, 即得 (1) 如果 为 的可去奇点, 则 如果 为 的1阶极点, 那么 法则1 成Laurent级数, 求 (3) 如果 为 的极点, 则有如下计算规则 (2) 如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 ) ( z f 留数的计算方法 证明　由于z0是 f (z)的1阶极点，所以在z0的 某个去心邻域内的Laurent级数展开式为 故 所以 例1　求 和 在孤立奇点处的留数. 由于 z=0是g(z)的1阶极点，于是 易知z=1和z=2都是 f (z)的1阶极点，故 法则2 设 及 在 都解析. 如果 那么 为f (z) 的1阶极点, 并且 证明 由条件易知z0是f (z)的1阶极点. 于是 例2　求 在孤立奇点处的留数. 处解析，且 所以 是 f (z)的1阶极点，并且 显然 和 都在 如果 为 的 阶极点, 取正整数 法则3 证明 由于z0是 f (z)的m阶极点，所以在z0的 某个去心邻域内的Laurent级数展开式为 那么 因此 对上式求 阶导数, 得 +(含有 正幂的项), 所以 于是 例3　求 在z= -1处的留数. 解 显然z= -1是f (z)的n阶极点，所以 如果z0是f (z)的m阶极点，有时在 中取 nm来计算更为方便. 例4　求 在z=0处的留数. 根据 可知, z=0是f (z)的3阶极点, 在 法则3中取n=5, 则 如果在法则3中取n=3, 那么计算就要麻烦得多. 例5 　计算积分 其中C是 的正向. 的1阶极点，并且都在C的内部. 所以 根据留数定理和法则2, 　 显然 是函数 极点z=3在 的外部. 分别是f (z)的3阶和1阶极点, 都在 的内部. 而 例6 计算积分 其中C 是 的正向. 记 显然z=0和z=1 于是，根据留数基本定理 例7 求 在z=0处的留数，并求 其中C是 的正向. 解 易见z=0是函数f (z)的本性奇点，并且 因此 于是，根据留数基本定理 Karl Weierstrass (1815.10.31-1897.2.19) 德国数学家. 曾在波恩大学学 习法律, 1838年转学数学. 后来成 为中学教师, 不仅教数学、物理, 还教写作和体育, 在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任 教, 1864年成为教授. Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位 大师, 他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一些 数学家一起共同结束了分析学的混乱局面. 一、形如 的积分