复变函数论第三版钟玉泉PPT第二章课件.ppt

一、复变函数的导数与微分 四、典型例题 一、指数函数 二、三角函数和双曲函数 定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为： 三、乘幂 与幂函数 (2) 分出根式函数的单值解析分支. 从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，?argz2?，从而可将其转化为单值函数来研究。 wk在其定义域上解析,且 分成如下的n个单值函数： (3) 的支点及支割线 定义1 设 为多值函数， 为一定点，作小圆周 ，若变点 沿 转一周，回到出发点时， 函数值发生了变化，则称 为 的支点，如 就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点 转一周，故点 也是其一个支点. 常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数: 定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线. 如 可以以负实轴为支割线. 注 a) 支割线可以有两岸. b) 单值解析分支可连续延拓到岸上. c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变. d) 对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支. 上岸 下岸 二、对数函数 1. 定义 2.计算公式： 说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数， Lnz一般不能写成lnz, 其余各值为 例1 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 例2 解 3. 对数函数的性质 4. 分出w=Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数 w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支： wk在定义域上解析,且 例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且 以 为支点，连接 的任一 （广义）简单曲线可作为其支割线. 解： 求值： （是下岸相应点的函数值）求 的值. 1. 乘幂: 复变函数 * 复变函数 * * 第二章 解析函数 § 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 § 3 初等多值解析函数 1.导数: 第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 在定义中应注意: 例1 解 即 例2 解 例3 解 例4 解 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 3.求导法则: 4.微分: 特别地, 二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 2. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 例1 解 例2 解 课后思考题： 答案 处处不可导,处处不解析. 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 定理一 三、函数解析的充要条件 证 (1) 必要性. 从而, (2) 充分性. 由于 [证毕] 例1 解 解析函数的判定方法: 注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。 注2 解析函数的导数形式更简洁。 解 不满足柯西－黎曼方程, 例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析： 四个偏导数均连续, 但是 例2 解 例3 证: 因为 类似可进一步证明: 例4 证 1.指数函数的定义: 第二节 初等解析函数 指数函数的定义等价于关系式: 2. 加法定理 例1 解 例2 解 1. 三角函数的定义 将两