复变函数论第三版钟玉泉PPT第五章课件.ppt

1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗(Laurent)展式 4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 第二节 解析函数的有限孤立奇点 1. 孤立奇点的分类 3. 施瓦茨(Schwarz)引理 4. 极点的性质 5. 本性奇点的性质 6. Picard(皮卡)定理 第三节 解析函数在无穷远点的性质 第四节 整函数与亚纯函数 1. 整函数 复变函数 华中科技大学数学与统计学院 * 复变函数 华中科技大学数学与统计学院 * * 第一节 解析函数的洛朗展式 1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展式 3. 洛朗级数与泰勒级数的关系 4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 5. 典型例题 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 定义 称级数 （1） 为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数 为双边幂级数，其中复常数 负幂项部分 非负幂项部分 主要部分 解析部分 注: 主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛 若 收敛域为 的收敛半径为R, 收敛域为 时收敛, 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分H: 这时,级数(1)在圆环H:r|z-a|R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+ f2(z) 定理5.1 设双边幂级数(1)的收敛圆环为 H: r|z-a|R (r≥0, R≤+∞) 则(1) 级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于: f(z)=f1(z)+f2(z). (2) f(z) 在H内解析. 在H内可逐项求导p次(p=1,2,…). (4) 函数f(z)可沿H内曲线C逐项积分. 定理5.2 (洛朗定理) 在圆环H:r|z-a|R, (r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边 幂级数 其中 (2) 定义5.1 (2)式称为f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为其罗朗系数，而(2)右边的级数则称为罗朗级数。 (3) 注: 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。 3. 洛朗级数与泰勒级数的关系 例1 求函数 分别在圆环 及 的洛朗级数。 (1)在圆环　　　 内， ,于是有洛朗级数 (2)在圆环 　 　　　上, ,于是有洛朗级数 解 例2 求函数 在 内的洛朗级数。 例3 求函数 在 内的洛朗级数。 例4 求函数 在 内的洛朗级数。 定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}： 0|z-a|R 内解析，点a是f(z)的奇点，则称为f(z)的孤立奇点. 如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0|z-a|R内能展成洛朗级数。 将函数展成洛朗级数的常用方法。 1. 直接展开法: 利用定理公式计算系数 然后写出 2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 例1 展开成洛朗级数. 5. 典型例题 例2 求函数 在 内的洛朗级数。 例3 试问函数 能否在 内展成 洛朗级数？ 2. 孤立奇点的性质 3. Picard定理 4 . Schwarz引理 1. 孤立奇点的分类 如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数 则称 为f(z)在点a的正则部分,而称 为f(z)在点a的主要部分。 定义5.3 设a为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,设为 则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点； (3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点. 定理5.3 若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。 (2) (1) f(z)在点a的主要部分为零; (3) f(z)在点a的某去心邻域内有界。 2.可去奇点的性质 证 (1) ?(2). 由(1)有 因此 (2) ?(3). 因 (3) ?(1). 因主要部分的系数 其中 　　　　,　　可任意小，故