复变函数论第三版钟玉泉PPT第六章课件.pptVIP

复变函数 华中科技大学数学与统计学院 复变函数 华中科技大学数学与统计学院 * * * * 第一节 留数 第六章 留数理论及其应用 1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数 * * 定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分 为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为： 1. 留数的定义及留数定理 将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有： 即 * * 定理6.1 (柯西留数定理) f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,…an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,…an外连续,则 证 作圆周 使其全含于 　　内且两两不相交，取逆时针方向，则由柯西积分定理有 注 留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。 * * 2. 留数的求法 (1) 常规方法: 不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。 (1) 常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式 ，即负幂项 的系数。 (3) a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求 (2) a为有限可去奇点时: 运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。 (4) a为极点时，有如下结论. * * 其中?(z)在点a解析, ?(a)≠0，则: 定理6.2 设a为f(z)的n级极点,即 推论6.3 设a为f(z)的一级极点, 则 推论6.4 设a为f(z)的二级极点, 则 定理6.5 设a为 的一级极点? ? * * 例1 设 , 求留数 例2 设 , 求留数 例3 设 , 求留数 例4 计算积分 逆时针方向。 例5 计算积分 逆时针方向。 * * 例1 求 在 的留数, 其中a,b是实常数. 留数计算补充例子 例2 求 在 的留数. 例3 求留数 . 例4 求函数 在奇点的留数. * * 3. 函数在无穷远点的留数 定义6.2 设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-{∞}：0≤r|z|+∞内解析，则称 为f(z)在点∞的留数,记为 ,其中??-是顺时针方向. 设f(z)在0≤r|z|+∞内的罗朗展式为 由逐项积分定理即知 例1 设f(z)=z6/(1+z6), 求 也就是说， 等于f(z)在点 的洛朗展式中 项的系数的相反数。 * * 定理6.6 如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内) ,则f(z)在各点的留数总和为零，即 例1 计算积分 * * 函数在无穷远点的留数的另一计算公式 例2 利用以上公式计算例1中的积分 例3 利用无穷远点的留数计算积分 或写成如下形式 * * 第二节 用留数定理计算实积分 1. 计算 型积分. 2. 计算 型积分 3. 计算 型积分 某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之