16闭区间上连续函数的性质.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)? 如果有x0?I? 使得对于任一x?I都有 f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)? 最大值与最小值举例: 函数 f(x)=1+sinx在区间[0? 2p]上有最大值 2 和最小值 0 ? 一、有界性与最大值最小值定理 函数y=sgn x 在区间(-?? +?)内有最大值1和最小值-1? 但在开区间(0? +?)内? 它的最大值和最小值都是1? 最大值与最小值举例: 一、有界性与最大值最小值定理 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)? 如果有x0?I? 使得对于任一x?I都有 f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)? 并非任何函数都有最大值和最小值? 例如，函数f(x)=x在开区间(a? b)内既无最大值又无最小值? 应注意的问题: 一、有界性与最大值最小值定理 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)? 如果有x0?I? 使得对于任一x?I都有 f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)? 说明: 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值? 又至少有一点x2?[a? b]? 使f(x2)是f(x)在[a? b]上的最小值? 至少有一点x1?[a? b]? 使f(x1)是f(x)在[a? b]上的最大值? 定理说明? 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 那么 应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值? 例如? 函数f(x)=x在开区间(a? b) 内既无最大值又无最小值? 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值? 又如? 如下函数在闭区间[0? 2] 内既无最大值又无最小值? 应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值? 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值? 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界? 证明 设函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 根据定理1? 存在f(x)在区间[a? b]上的最大值M和最小值m? 使任一x?[a? b]满足 m?f(x)?M? 上式表明? f(x)在[a? b]上有上界M和下界m ? 因此函数f(x)在[a? b]上有界? 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值? 注: 如果x0使f(x0)=0? 则x0称为函数f(x)的零点? 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且f(a)与f(b)异号? 那么在开区间(a? b)内至少存在一点x? 使f(x)=0? 二、零点定理与介值定理 例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0? 1)内至少有一个根? 证明 设 f(x)=x3-4x2+1? 则f(x)在闭区间[0? 1]上连续? 并且 f(0)=10? f(1)=-20? 根据零点定理? 在(0? 1)内至少有一点x ? 使得 f(x)=0? 即 x 3-4x 2+1=0 ? 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0? 1)内至少有一个根是x ? 二、零点定理与介值定理 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且f(a)与f(b)异号? 那么在开区间(a? b)内至少存在一点x? 使f(x)=0? 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且f(a)?f(b)? 那么? 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C? 在开区间