多元函数微分学习题课课件.ppt

* 多元函数微分学 习题课 一、主要内容 平面点集 和区域 多元函数概念 多元函数 的极限 极 限 运 算 多元函数 连续的概念 多元连续函数 的性质 全微分 概念 偏导数 概念 方向导数 全微分 的应用 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 高阶偏导数 隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用 多元函数的极值 1、多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 存在性 ——定义，夹逼定理 不存在 ——特殊路径、两种方式 求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等 2、多元函数的连续性 3、偏导数概念 定义、求法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数——纯偏导、混合偏导 4、全微分概念 定义 可微的必要条件 可微的充分条件 利用定义验证不可微 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 6、全微分形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 7、隐函数的求导法则 5、复合函数求导法则 “分道相加，连线相乘” 法则的推广——任意多个中间变量，任意多 个自变量 如何求二阶偏导数 ①公式法 ②直接法 ③全微分法 8、微分法在几何上的应用 (1)　空间曲线的切线与法平面 (２)　曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程 定点（过点）、定向（方向向量、法向量） 曲线：参数式，一般式给出 曲面：隐式、显式给出 求隐函数偏导数的方法 10、多元函数的极值 9、方向导数与梯度 定义 计算公式（注意使用公式的条件） 梯度的概念——向量 梯度与方向导数的关系 极值、驻点、必要条件 充分条件 最值 条件极值，目标函数、约束条件 构造 Lagrange 函数 二、典型例题 例1 解 例2 已知 求 解 例3 已知 求 解 例4 解 例5 解 于是可得, 求 解一 记 则 解二 方程两边对 x 求偏导 例6 设 由轮换对称性 两边取全微分 即 解三 在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者 解 如图若以 x ,y , z 表示三角形的三边所对的圆心角，则 三角形的面积 例7 问题就是求A在条件 下的最大值 x y z 记 例8 解