实变函数论西南）辅导课程十至十四课件.ppt

实变函数 主讲教师 ：吴行平 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第四章 可测函数 第一节??可测函数及其基本性质 本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调函数均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处”概念是一个很重要的概念 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第 二 节 叶果洛夫定理 本节主要介绍一个重要定理——叶果洛夫定理。通过本节的学习，我们要知道，对于定义在测度有限的可测集上的几乎处处有限的可测函数列，几乎处处收敛与“基本上”一致收敛是等价的，同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定理总是成立的。 实变函数 主讲教师 ：吴行平 实变函数 主讲教师 ：吴行平 第四节 依测度收敛 本节我们引进另一个收敛概念——依测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛的关系。通过本节的学习，我们要知道，依测度收敛与几乎处处收敛有很大的区别，另一方面，黎斯定理和勒贝格定理表明，它们也有一定的联系。 定理 1 （鲁津定理）设 是 使 在 上是连续函数，且 简言之， 上几乎处 ，存在闭子集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意 处有限的可测函数是“基本上连续”的函数。 证明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论。 简单函数情形。 可测互不相交，且 = ，当 由（1）知，存在闭集 。使 在 上是连续的，且 令 ，显然 且 在闭集 上是 一致收敛于 的连续函数列，从而 是 上的连续函数，且 。实际上 （3） 情形。 令 为球 。 由（2）知， 在 上是基本上连续。即存在闭子集 ，使 在 上是连续的且 令 ，由 的特殊作法，我们容 易证明， 在 上是连续且 而 仍为闭集。 注1 该定理的证明方法值得注意，先考虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。 注2 该定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。 注3 该定理的逆定理也是成立的。 辅导课程十四 证 （1）对于任何有限数 ， = ，由假设等式右边是可测集。 （2） E是可测集而且对于任何有限数 ，有 = 由假设等式右边是可测集。 例1????任?何简单函数都是可测函数。 事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测 的，由定理2便知任何 简单函数都是可测函数。 定理3 设 是 上一列（或有限个）可测函数，则 = 与 都是可测函数。 证 由于 = ， = 而得证。 定理4 设 是 上一列可测函数，则 = ， 也在E上可测，特别当 = 存在时，它也在E上可测。 证 由于 == ， = 重复应用定理3即得证。 辅导课程十二 定理5 设 是可测集E上的可测函数，则 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，而且还可办到 证 （1） 情形。 对每个自然数n, 定义 则 为E上的简单函数，且不难证明 我们证明 = 。 如果 = + ，则 = + 。 如果 + ，则有自然数N， 使 从而当 时 （2）一般情形 令 =sup , =sup 则 ， 都是非负可测函数， 对 ， 作出相应的简单函数列 ，