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实变函数论 曹 广 福 教 授 四川大学数学学院 第1讲 集合及其运算 目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算；熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的上、下限集。重点与难点：集合序列的上、下限集。 基本内容：一．背景1．Cantor的朴素集合论2．悖论3．基于公理化的集合论 集合及其运算 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。 集合及其运算 然而，任何一门学科的发展都不可能是帆风顺的，也不可能是完美无缺的，正是集合论，曾经给数学界带来了极大的恐慌，因为自从康托尔以相当随便的方式阐述了集合论（即现在人们所说的相互集合论）之后，人们逐渐发现它存在着不可调和的矛盾。如罗素（Bertrand Russell）于1918年叙述的著名“理发师”悖论，以及理查德（Jules Richard）编造的“理查德”悖论等等，都曾经常常困扰了数学家们。 集合及其运算 为避免集合论中的矛盾，人们求助于将Cantor的相互集合论加以公理化，以策密罗（Ernst Zermelo）为首的一批数学家建立了一套集合论公理体系，即如今的形式集合论，从而避免了这一理论内已被发现的矛盾。然而，有关公理化集合论相容性尚未得到证明。庞加莱（Poincare）关于相容性问题做了一个风趣的评论：“为了防备狼。”尽管集合论不如人们所期望的那样无懈可击，它在数学中的地位却不因此而降低。它始终是我们掌握许多理论所必须的基本知识。 第1讲 集合及其运算 二．集合的定义1．集合的几种表示法我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。 集合及其运算 对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，记作；如果x不是A的元素，则称x不属于A，记为（或记为）。 正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，通常记为： ， 其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。 集合及其运算 2．几个特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如，在大多数场合下，始终表示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸如[a,b]，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出，例如，1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10}，不含任何元素的集合称为空集，记作 。 集合及其运算 三．集合的运算1.集合的子集 假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作，或记作。前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，任取 。 如果A是B的子集，且存在 ，则称A是B的真子集，记作 。 如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A与B相等，记作A=B。 集合及其运算 2．交运算 所有既属于A，又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（或通集），记作 ，若 ，则称A与B互不相交，显然 B当且仅当 且 。 对于一簇集合 ，可类似定义其交集， 即 集合及其运算 3.并运算 假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，记作 ，换句话说 ，