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第10讲 开集的可测性 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel 集类与Lebesgue集类的差别。 重点与难点： 第10讲 开集的可测性 基本内容： 一．Borel集 问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所 熟悉的哪些集合是可测的？ 第10讲 开集的可测性 问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？ 第10讲 开集的可测性 （1）??? 开集与闭集的可测性 命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且 。 证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有 第10讲 开集的可测性 注意到 仍是个长方体， 故不难得知 （这与证明 类似）因此 从而I可测。证毕。 第10讲 开集的可测性 定义1 Rn中的集合 称为左开右闭长方体。 与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即 第10讲 开集的可测性 引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体。 证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为 第10讲 开集的可测性 （有限或可数个）。对于k1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 。如果 ，则存在 ，使 注意到 故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在G ，所以 一定在某个 中，即 第10讲 开集的可测性 于是， （2）??? Gδ型集、Fб型集、Borel集 定理1 Rn中的任意开集、闭集、F?型集、 G?型集均为可测集。 证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F ?型集、G ?型集均可测。证毕。 第十讲 开集的可测性 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。 第十讲 开集的可测性 二．Borel集类与Lebesgue集类的比较 问题3：根据Lebesgue外测度及可测集的定义，你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大？ 第十讲 开集的可测性 问题4：对任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它们有相同的外测度？ 问题5：对上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它们具有相同的外测度？如果E是可测集，情形又如何？ 第十讲 开集的可测性 Lebesgue可测集的结构 Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未 第十讲 开集的可测性 必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此立知，Lebesgue可测集全体 第十讲 开集的可测性 远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgu