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第11讲 可测函数的定义与性质 目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其 性质，掌握常见的一些可测函数。 重点与难点：可测函数的引入，性质的证 明。 第11讲 可测函数的定义与性质 基本内容： 一．可测函数的定义 为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的 确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如 第11讲 可测函数的定义与性质 的集合这可测性,假如对一切的 上述集合都是可测的，则下面的和式 就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合 第11讲 可测函数的定义与性质 对一切 都可测的函数 之结构。 （1）关于∞的运算 由于我们允许函数值取 ，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定 （i） （ii）对任意 第11讲 可测函数的定义与性质 （iii）对任意 （iv） 但是 第11讲 可测函数的定义与性质 及 是没有意义的，因此，不允许作这种运算。 （2）定义 定义1 假设 是可测集， 是E上的函数，如果对任意常数a，集合 都是可测集，则称f是E上的可测函数。 第11讲 可测函数的定义与性质 问题1：为了定义函数的Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？ 问题2：列举几类可测函数的例子？ 第11讲 可测函数的定义与性质 （3）简单函数的可测性 定义 设 是可测集,E1，E2，…，En 是E 的互不相交的可测子集，且 C1,C2，…,Cn是常数，则称E上的函数 为简单函数。 第11讲 可测函数的定义与性质 记 为 的特征函数，则显然有 命题1 对任意可测集E，E上的简单函数 是可测的。 证明：设 是E上的简单函 数，不失一般性，假设 第11讲 可测函数的定义与性质 （若 ，则将 看作某个Ek ），往证对任意 是可测集。显然， 第11讲 可测函数的定义与性质 所以 是可测集。证毕。 （4）非负函数可测性的等价定义 如果可测函数 ，则称其为非负 可测函数。 定理1 如果 是可测集上的非负函数， 则下列各陈述相互等价： 第11讲 可测函数的定义与性质 （i） 在E上非负可测； （ii）存在E上的非负简单函数列 使得 证明 ，其中 第11讲 可测函数的定义与性质 是E上的非负简单函数，满足 则对任意实数a及任意 是 可测集，但 故 是可测集。 (i)?(ii) 假设f 是E上的非负可测函数，即 第11讲 可测函数的定义与性质 任意实数a, 是可测集,不难看 到 故 是可测集，于是对任意常 数a，b，集合 也是可测的。 第11讲 可测函数的定义与性质 对任意正整数m及 令 则 是互不相交的可测集，且 定义简单函数 第11讲 可测函数的定义与性质 可以证明 （请读者自行 验证）。下面证明 若 使 则对任意 ，所以 若 则可取正整数 则当 时， 第11讲 可测函数的定义与性质 因此 。证毕。 由于定理1中（i）与(ii)的等价性，所 以，也可将（ii）作为非负可测函数的定义。 第11讲 可测函数的定义与性质 （5）一般可测函数的等价定义 而对一般的实值函数，可以作的正负部分解： 第11讲 可测函数的