实变函数论课件13课件.ppt

第13讲 Lusin定理 目 的：通过本讲的学习，使学生了解Lusin定理的科学意义。懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西，发现一般规律。学会从分析中寻求所要的证明。 重点与难点：从熟悉的理论出发发现Lusin定理；寻求Lusin定理的证明。 第13讲 Lusin定理 基本内容： ?一．一般集合上的连续函数 （1）? 回忆闭区间上连续函数的性质。 最大最小值原理、介值定理、Weirstrass定理 回忆前一章，对任意可测集E及任意 可以找到闭集 ，使 第13讲 Lusin定理 （见第二章§2定理3的证明）。因此，如果函数序列 在E上几乎处处收敛到 ,且 几乎处处有限，则我们可以先利用Egoroff定理，找一个集合 使 在 上一致收敛到 ，然而再找闭集 ，使 限制在 上当然 第13讲 Lusin定理 也是一致收敛到 的，并且 这说明，Egoroff定理（ii）中的 可以取成闭集。假如我们已经定义了闭集上的连续函数概念，便可以将数学分析中有关闭区间上的边续函数及其序列的许多结论搬到这里来。例如，闭集上一致收敛的连续函数序列的极限应该也是连 第13讲 Lusin定理 续的。为此，我们先来定义一般可测集上连续函数的概念。 （2）??? 一般可测集上连续函数的定义。 问题1：如何修改区间上连续函数的定义，使其适合一般可测集？ 第13讲 Lusin定理 定义1 设E是 中的点集， 是定义在E上的函数， ，如果对于任意 ，存在 ，使得当 时，有 则称 在点 相对于E连接。 如果对任意 点相对于E连续，则称在E上处处连续，或说是E上的连续 第13讲 Lusin定理 函数。 这里应该提醒注意，此处所说的连续性是与某个特定集合E 有关的，相对于不同的集合，连续性就不一样了。 例如[0，1]上的函数。 第13讲 Lusin定理 处处不连续，这里的连续性是相对于集合[0，1]而言的。例如取E=[0，1]-Q，将D(x)看作E上的函数，则D(x)恒等于0，它当然是E上的连续函数。这就是说，同一个函数，将其看作定义在某个集E上的函数可能是连续的，若将其看作定义在另一个集E上的函数，则可能是不连续的。此外，根据定义1，如果 是E的孤立点， 第13讲 Lusin定理 则 一定在相对于E连续。 正是由于函数的连续性能是一个相对概念，所以几乎处处连续就可能有多种含义。如果 是E上的函数，称 在E上几乎处处连续是什么意思呢？按几乎处处的定义， 在去掉中一个零测集后是连续的，那么这个连续性是相对于哪个集合而言的呢？显然，相对于E而 第13讲 Lusin定理 言和相对于E去掉一个零测集后的集合而言，连续性是不一样的。仍以上述函数 为例。记 是[0,1]去掉一个零测集后得到的集合。如果将 看作上的函数，则 在E上处处连续；如果将 仍看作[0,1]上的函数，则对任意 ， 在点 不连续。所以， 第13讲 Lusin定理 如果我们要说函数的几乎处处连续性，一定要指明相对于哪能个集合而言。 （3）??? 连续函数序列的极限 问题2：回忆区间上连续函数序列的一致收敛极限的性质，这一性质在一般可测集上是否仍成立？ 第13讲 Lusin定理 引理1 假设 是闭集， 是F上的连续函数序列，且一致收敛到 则 在F上连续。 证明：对任意 ，由下列不等式 第13讲 Lusin定理 以及 的连续性与一致收敛性易得证明。 二．Lusin定理（第一形式） （1）??? 定理的建立 问题3：Weirstrass定理及Fourier级数的本质是什么？ 问题4：一般可测集上哪些函数可以被认为是比较简单的函数？ 第13讲 Lusin定理 问题5：回忆Egoroff定理，从中可以发现什么？ 问题6：何种简单函数是连续函数？对于一般的简单函数如何用连续函数逼近？按何种方式逼近？ 第13讲 Lusin定理