实变函数论课件18课件.ppt

第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 目的：了解Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积分的极限定理，并能熟练运用这些定理。 重点与难点：L-积分极限定理及其应用。 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 二．Levi定理 问题2：回忆Riemann积分中，积分 与极限交换顺序的条件？ ?问题5：定理的条件中，假定了函数序 列的单调性，这说明函数序列 至少是几乎处处收敛的，单几 乎处处收敛的函数序列的积分 与极限必可交换顺序吗？如何 克服这一困难？ 三．Lebesgue基本定理 问题6：我们知道级数与序列是可以相 互转换的，试将Levi定理改用 级数的形式叙述？ 问题7：如果 Ek 是一列互不相交的可 测集， ，f 是E上的 非负可测函数，能否利用 Lebesgue基本定理证明 ？ * * 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 基本内容： 一．R-积分与 L-积分的关系 问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f | 的Riemann可积性是否等价。对 常义Riemann积分而言，情形又 如何？ 我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说，Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到。 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 那么，通常意义下的Riemann可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是的话，则就不能认为Lebesgue积分是Riemann积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的。 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 此处 表示在[a,b]上的Lebesgue积分， 表示在[a,b]上的Riemann积分。 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且 证明：显然，由本节定理1，只需证明是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 记 分别为 f 在 下的 下确界和上确界，由Riemann积分的定义知 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 令 为如下的函数列： 则因 ，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 于是 ，即 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 注意到 都是有界可测的，所以 是非负Lebesgue可积函数，从而 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 又 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 这说明 ， 故 。 由本节定理3知 ，进一步 ，因此 f 在[a,b]上可测，证毕。 第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 第18讲 R-积分与L-积分的关系,