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第19讲 Lebesgue积分的极限定理 本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件。 重点与难点：控制收敛定理及其证明。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交 换顺序，即 lim∫Efn(x)dx =∫Elimfn(x)dx (1), 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题1：对非负可测函数列 { fn }，上述 不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 既然对一般的可测函数列{fn}，等式 (1)未必成立，下面的问题便是自然的： 问题2：对一般可测函数列{fn} ，等式(1) 何时成立？ 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 一个平凡的事实是：如果有限测度集 E上的Lebesgue可积函数列{ fn}一致收敛 到 f，则f也是E上的Lebesgue可积函数， 且等式（1）成立。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设{ fn }是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意?0，存 在自然数N，当nN时，有 |fn(x)-f(x)| ? (?x∈E)， 于是 |fn(x)| |f(x)|+ ? (?x∈E) （3） 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 因 E是有限测度集，故|f(x)|+ ? 是 E上的可积函数，由（3）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了。 Lebesgue积分的极限定理 在Levi定理中,{ } 是单调递增的非负 函数序列,其极限函数f满足: 这就是说，该函数列由它的极限函数控制。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 回忆一下，为什么（2）中不等式 可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x∈(1/n,1) ， fn(x) = n x ∈(0,1/n]， 为什么该函数列使得等式(1)不成立呢? 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 尽管fn(x) 在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大， 它在（ 0，1）上不能被任何可积函数控制住。 （为什么？）上述分析给了我们何种启示 ？如 果希望等式（1）成立， 应该附加一个什么样 的条件？ 下面仍然考察可测集E上的可测函数列{ fn}， 但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或 几乎处处收敛。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设{fn}是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足： （I） {fn}在E上几乎处处收敛到f， （II）存在E上的Lebesgue可积函数F， 使得 对任意n， |fn(x)| ≤F(x) a.e.[E]。 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题3：对满足上述条件（I）与（II） 的函数序列 { fn } ，等式（1） 是否成立？ 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fn→f，根据Egoroff定理，对? ?0，存在 可测集E??E，使得： （a）m(E- E?) ?; （b）fn在E?上一致收敛到f。 于是，我们有 lim∫ E? fn (x)dx =∫ E? limfn(x)dx (3) 第1