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第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 目的：掌握Vitali定理，并能熟练运用。熟悉乘积空间中的可测矩形概念。 重点与难点：Vitali定理及其证明。 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 基本内容： 一. Vitali定理 问题1：Lebesgue控制收敛定理中的控制 函数起什么作用？为什么要这个 控制函数？ 问题2：能否用类似的条件取代控制函数？ 二．乘积空间上的测度 (1) 可测矩形 定义1 设 A, B 是两个集合，A 与 B 的 笛卡儿积指的是集合: 。 * * 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 从Lebesgue控制收敛定理定理的证明可以看出，之所以需要一个可积的控制函数，是为了使得函数序列在测度充分小的集合上的积分可以由某个可积函数在该集合上的积分控制，进而其积分的绝对连续性相对于n具有某种“一致连续性”条件来替代，这种一致连续性即下面的 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 (1) 等度绝对连续函数簇 设 E 是可测集，F 是 E 上一簇可积函数，如果对任意 ，存在仅与 有关的 ，使得当 时，对一切 都有 ，则称 F 是 E 上的积分等度绝对连续的函数簇。 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 如果 F 是定义中的函数簇，即对任意 ，存在 ，只要 ， 对任意 都有 ，若记 则也有 ，从而 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 所以 由于 是任意的，故 也是任意的，因 此，定义中的不等式可以换成 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 (2) Vitali定理的叙述 设 是 E 上积分等度绝对 连续的函数序列， 在 E 上， ， 则 f(x) 在 E 上可积，且 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 (3) Vitali定理的证明 由 (ii)，对每一正整数 i，可取 ， ，使 时， 。 (1) 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 令 利用 (iii) 选取正整数 Ni，使 时， ，由于 ， 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 所以 时， 从而 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 由Riesz定理，有{ f(x)}的子序列 ，使 ， 不妨设 ，于是 。 令 ， 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 则 f(x) 是 E 上的非负可测函数，且 。 由Lebesgue基本定理知 第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形 可知 F(x) 在 E 上可积，从而 f(x) 也在 E 上可积。设 是任给的正数，则由积分的绝对连续性知存在 ，使 时， 于是 。