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第22讲 Fubini定理(续) 目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。 重点与难点：Fubini定理及其证明。 第22讲 Fubini定理(续) 基本内容： 一．可测函数的截口 问题1：微积分中累次积分的内层积分 是什么意思？ 第22讲 Fubini定理(续) 二．Fubini定理的特殊形式 第22讲 Fubini定理(续) 问题3：Fubini定理的特殊形式能给 什么样的函数证明Fubini定 理？如何过渡到一般的可 测函数？ 作业：P168 22 第22讲 Fubini定理(续) 最后证 (iii),由于 是 域，由 f 的 -可测性不难证明 均是 可测的。又因为 在 中可积，故 也可积,将 (i) 依次应用于 立知 均是 上的可积函数， 均是 上的可积函数。 第22讲 Fubini定理(续) 因为 ，故对使得 且 的每个 是 中的可积函数,但由 的可积性知 记 ，则 ，且对任意 ， 从而 在 上可积， 同理可证对几乎所有的 是 上的可积函数，在等式 (b) 中，用 代替 代替 f，等式仍成立，同理用 代替 代替 f，(b)也成立，将所得的两等式相减立得 ，类似可得 。证毕。 第22讲 Fubini定理(续) 第22讲 Fubini定理(续) 注：虽然Fubini定理中加上了“ f 是 -可测函数”的条件，但这一条件可以换成“ f是 上的可测函数”。这是因为，若 f 是 上的可测函数，则对任意 ， 是可测集，由本章§ 3定理2知存在 ，使 ，且 。 我们知道，去掉一个零测集并不影响函数的积分，所以只需在定理7的 (i) 中，将等式 (a) 改成对几乎所有的 及几乎所有的 ， ， 则所有的结论仍然正确。 第22讲 Fubini定理(续) * * 第22讲 Fubini定理(续) 问题2：对 Ln×Lm 任意集合 E 及 E 上的可测函数 f(x,y)，如果考 虑关于 f(x,y) 的重积分化为 累次积分问题，首先应考察 什么？ 可测函数截口的定义：fx，f y。 第22讲 Fubini定理(续) 定义3 如果 是 上的函数，则对每个 ，记 ， 它是定义在 上的函数。 第22讲 Fubini定理(续) 类似地，如果 上相对于 的可测函数，即对任意 及任意 ， ，通常称该函数为 -可测函数，则对任意 ， 是 上的可测函数，对任意 是 上的可测函数。 第22讲 Fubini定理(续) 证明：对任意 及任意 ， 任取 ，则 第22讲 Fubini定理(续) 由于 故 即 由此得 可测，同理可证 是 上的可测函数，证毕。 定理6 设