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第23讲 单调函数的结构 目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。 重点与难点：单调函数的性质与结构。 第23讲 单调函数的结构 基本内容： 一．问题的提出 问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么 地方？对于Lebesgue积分而言， 能否建立类似的结论？ 第23讲 单调函数的结构 三．单调函数的可积性 问题3：[a,b]上的单调函数是否一定 是R-可积的？为什么？ 第23讲 单调函数的结构 五．单调函数的结构 问题5：利用上面的跳跃函数能否抹去给 定单调函数的间断点使其连续？ 问题6：对于给定的单调递增函数，其对 应的跳跃函数也是单调递增的， 这两个函数的差是否仍是单调递 增的？ 第23讲 单调函数的结构 而且，由于 在 处的左、右极限都存在，且左、右方跳跃度分别为 ， ，因此 在 点的左、右极限也存在，且左、右方跳跃度也分别为 与 ，证毕。 * * 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 [a, b] 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若 是[a,b]上的Lebesgue可积函数，则 在[a,b]上是否可导？如果可导，其导函数是否等于 ？ 另一方面，如果 是 [a, b] 上的可导函数，则 在 [a, b] 上是否可积？如果可积，则 是否等于 ？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 例如，若 则 在[0,1]上处处有导数，然而 在[0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？ 这正是我们关心的问题。 二. 单调函数的间断点 定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数，如果对任意 ， 当 时，不等式 恒成 立， 就称 f 是 E 上的单调增加函数。 如果 恒成立，则称 f 为 E 上的严格单调增加函数。 第23讲 单调函数的结构 第23讲 单调函数的结构 如果当 时，不等式 恒成立， 则称 f 是 E 上的单调递减函数。若不等式 恒成立，则称 f 为 E上的严格单调递减函数。 第23讲 单调函数的结构 问题2：单调函数的间断点哪些类 型？间断点有多少？ 第23讲 单调函数的结构 若 f 是 E 上的有限函数， 在 点的右极限 存在，则称 为 f 在 点的右方跳跃度，若 f 在 点的左极限 存在，则称 为 f 在 点的左方跳跃度。 第23讲 单调函数的结构 若 f 在 的左、右极限都存在，但其左、右方跳跃度不全为 0 (即 不全相等)，则称 为 f 的第一类不连续点，若 f 的不连续点不是第一类的，则称为第二类不连续点。 定理1 设 f 是 [a, b] 上的单调递增函数，则 f 具有下列性质： (1) f 的不连续点全是第一类的； (2) f 的不连续点集至多可数； (3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不超过 。 第23讲 单调函数的结构 证明：(1) 首先证明，对任意 存在。事实上，由于　　　　，故存在 N，当　　 时， ，由单调性