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第27讲 Lp-空间简介 本讲目的：掌握Lp-空间的定义及其重要意义， 重点与难点： Newton-Leibniz公式的证明。 第27讲 Lp-空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet首先定义了[0，1]上的平方可积函数空间，即 第27讲 Lp-空间简介 随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得到空间 ,考虑这些空间的一个基本思想是，不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现在则要将这些树木放在起构成一片森林。 第27讲 Lp-空间简介 第27讲 Lp-空间简介 第27讲 Lp-空间简介 对任意 ，显然 仍是E上的可测函数，由于对任意实数 ，有 第27讲 Lp-空间简介 因此不难看出 。 从 的定义，启发我们以下面的方式定义 上的距离： 由上面的讨论，显见对任意 ，有 第27讲 Lp-空间简介 即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢？为此，设 ，则得 ， 于是 ，进而 由此立得 另一方面，若 第27讲 Lp-空间简介 则 ，从 而 。 上述分析说明， 并不是 上的距离，但使 的函数必有几乎处处相等的，反之亦然。因此，我们可以将 中几乎处处相等的函数放在一起，从而构成新的集合： 当且仅当 第27讲 Lp-空间简介 对任意 ，定义 不难看到，对任意 ， ，恒有 故上面的定义是无歧义的，此外，若 ，则显然有 。这样， 作为 上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。 第27讲 Lp-空间简介 为方便起见，以后也用 记 ，只要说 则指的就是与 几乎处处相等的函数类 ，若 说 则指的就是单一的函数 。 二。几个重要的不等式 引理1 设 是正数， ， ，则 等式成立当且仅当 ，或 中有一个为0。 第27讲 Lp-空间简介 证明：不妨设 （ 情形可类似证 明），由引理的条件知，于是要证的不等式可写成 即 记 ，则对任意