实变函数论课件2课件.ppt

第2讲 势的定义 目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。 重点与难点：势的定义及比较。 * * 现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。集合论也是这样，假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然其 第2讲 势的定义 特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。 第2讲 势的定义 怎样表示集合所含元素的多少呢？有限个元素组成的集合自然不成问题，把它的元素一个一个数出来就行了，但我们将要讨论的是无穷集，也就是集合所含的元素个数不是有限的，对于无穷集，“个数”一词实际是没有意义的，然而，不同的无穷集，它们是有明显的差别，比如自然数全体与实数全体显然不同，直觉上，实数当然比自然数多得 第2讲 势的定义 多，那么自然数与有理数集呢？此时，直觉可能会发生错误，如果我们认为有理数比自然数多，那就大错特错了。因此，我们有必要了解如何对无限集进行计数，使我们得以分清有哪些集有相同的“个数”，哪些不然。 现在还是让我们暂且回过头来，看看对有限集是如何计数的，设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时， 第2讲 势的定义 心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作 ，第二粒石子就是二号，不妨记作 ，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作 ，于是这堆石子 第2讲 势的定义 第2讲 势的定义 可记作 。这个过程实际上建立了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说明，我们想知道两个集合是否有相同 第2讲 势的定义 个数，我们其实不必将这两堆石子的个数 一一数出来，而只需每次各从两堆石子中 拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它 们的个数就是一样的，否则就不同。这说 明，我们想知道两个集合是否有相同数量 的元素，只需看能否在这两个集合之间建 立一种一一对应关系，只要能建立这种关 系，我们就有理由认为，它们有相同的数 量，这种方法对无穷集也适用。 一．势的定义 问题1：回忆有限集是如何计数的？ 问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？ 第2讲 势的定义 第2讲 势的定义 定义1 假设是两个集合，如果在A与B之间存在一种一一对应关系 ，即对A中任一元素，通过 与B中唯一元素对应，反之，对B中任一元素，A中也有唯一元素通过 与之对应，则称集合A与集合B是对等的或它们有相同的势或基数，记作 ，或 ，满足上述条件的 称为A和B之间的一个对应。 第2讲 势的定义 显然，任何集合A与它自身是对等的， 即 ; 若 ，则也有 ，若 ， ，则 。 例1 作对应关系 则 是 与 之间的一一对应。 从例1看出，虽然 是 的真子集，甚至直觉上 比 的元素少很多，但他们却是对等的，这在有限集情形是做不到的，后面将会看到，一个集合可以与其真子集对等是无穷集的一个特征。 第2讲 势的定义 第2讲 势的定义 例2 N与R1不对等，即 。 若不然，存在 与 的一个一一对应 ， 将与N中n对应的元素 记为 ，则 上至少有一个单位长度的区间不含 ， 不妨设此间 分为三等 分，则 中至少不含 ， 以 表示这个区间，将 三等分，其左、右两个区间中至少有一个区间不含 ，记为 ，依此类推，可得一串闭区间 ，满足：（1） ，且 的长度趋 于0 （2）