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第5讲 n维空间中的点集 目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。 重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。 第5讲 n维空间中的点集 证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令 ，由于 ，故 ， 取 中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取 ，则存在 ，使 第5讲 n维空间中的点集 ，再取 ， 假如已取到 个互不相同的点 ， 且 ，则取 ， 显然 第5讲 n维空间中的点集 但 ，于是可取 从而 互不相同。由归纳法知可找到一串互异的点 满足 。 证毕。 第5讲 n维空间中的点集 定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ， ， 从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使 第5讲 n维空间中的点集 中必有无穷多个都属于 或都 属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。 从而 。 综上 。证毕。 第5讲 n维空间中的点集 证明：假设 ，则对 的任意邻域 ， ， 任取 ，则由 知 对 的任意邻域 ， 第5讲 n维空间中的点集 不妨设 ， 则 ，且 。 任取 ，则 。这说明， 的 任意邻域中均含 中除 外的点，从而 ，即 ，所以 第5讲 n维空间中的点集 故而 是闭集。证毕。 第5讲 n维空间中的点集 证明：不妨设 为闭集，因 ，故 ，从而 ，所以 是闭集。 下设 为闭集，则 ， 因此 为闭集。证毕。 第5讲 n维空间中的点集 又设