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第6讲 直线上的点集 目的：掌握Cantor集的构造，熟悉直线上 开集与闭集的构造。 重点与难点：Cantor集的构造。 往证： (i) ，且 。 (ii) 对任意 ，或者 ， 或者 。 对任意 ，记 由 的定义知存在 ，使 ， 且 。于是 。 即 ，故 。如果 ，则存在 ，使 ，显然 ，这与 的定义矛盾。因此 。同理可证 。 (i)证完。 再证（ii），对任意 ，若 ， ，则或者 中至少有一个在 中；从而也在 中，无论何种情形均与（i）矛盾。故（ii）也成立。 以上论证说明， 可以表示为一些互不相交的开区间之并。而这些区间的全体必定是至多可数的，这只要从每个区间中取出一个有理数，从而不同区间对应不同的有理数便可得到证明。证毕。 * * 第6讲 直线上的点集 一．自密集、疏朗集、完备集 问题1：回忆开集与闭集的定义，可否 通过集合与其导集的关系重新 定义开集与闭集？ 问题2：集合与其导集有哪些可能的关 系？ 第6讲 直线上的点集 定义5（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集； （ii）若 ，则称 是完备集合。 定义6 假设 是 中的一个集合，如果 不 包含任何邻域，则称 为无处稠密的。 第6讲 直线上的点集 问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？ 第6讲 直线上的点集 Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间即 。如此继续下去，最终剩下的点集记作G，称之为Cantor集，则G是一个完备集。 问题4：你认为Cantor集的势是多少？ *定理10 。 证明：回忆一下前面的 进位表示法以及Cantor集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于讨论。 我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间 第6讲 直线上的点集 内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察 不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则 的三 进制表示中，必有某一位是1。反之，如果 不是分 点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的区间内，即 。因此，除了分 点外， 在 中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的，故分点集 也可数，因此 第6讲 直线上的点集 因此 。如果在§2定理9中令 ，则立得 。于是 。证毕。 第6讲 直线上的点集 第6讲 直线上的点集 二．直线上开集、闭集的构造 问题5：除开区间外，你还能找出直线上 多少开集？ 第6讲 直线上的点集 问题6