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第7讲 习题课 一．基本概念复习 二．几个重要定理 三．练习题评讲 P31-34 1，2，3，5，6，8，12，13，14，16，17，20，22，25，27 一．思考题 P33 24，26，29 一 基本概念复习 1 集合的极限、域（代数）、 域 （ 代数）、集合的势、势的比较、 偏序集以及极大元。 2 聚点、内点、边界点、导集、闭包、 孤立点。 3 开集、闭集、构成区间、完备集、 无处稠密集 二 几个重要定理 1 Bernstein 定理 2 Bolzano-Weirstrass 定理 3 Borel 有限覆盖定理 4 Zermelo 选择公理 三 练习题评讲 P31—34： 1，2，3，5，6，8，12，13，14，16，17， 20，22，25，27 习 题 一 1. 证明（i） （ii） 2. 证明（i） （ii） 习 题 一 3. 等式 成立的充要条件是什么？ 4. 对于集合 ，定义 的特征函数为 假设 是一集列，证明 习 题 一 （i） （ii） 5. 设 是一集列，令 , ，试证 互不相交， 且对任意 ，有 。 习 题 一 6. 设 是定义于E上的实函数， 为常数，证明： （i） （ii） 习 题 一 7. 设 是E上的实函数列，具有极限 ，证明对任意常数 ，都有 习 题 一 7. 设 是E上的实函数列，具有极限 ，证明对任意常数 ，都有 习 题 一 8. 设 是区间上 的单调递增实函数列，即 , 若有极限函数 ，证明对任意实数 有 习 题 一 9. 设 ，求 10. 证明：中坐标为有理数的点可数。 11. 证明：所有系数为有理数的多项式可数。 12. 证明：平面内所有互不相交的开矩形可 数（即所有不包含四边的矩形）。 习 题 一 13. 整系数多项式的零点称为代数数，如 果一个数不是任何整系数多项式的零 点，则称它为超越数。证明：代数全 体可数，并由此说明超越数是否存在？ 有多少？ 14. 证明可数集的有限子集全体仍可数注 意与§2定理9的区别）。 习 题 一 15. 设 是两两互不相交的集所成之 集列，证明 16. 若集 中每个元素由相互独立的可列个指标 所决定，即 ，而每个指标 在一个势为 的集中变化，则集 的势也是 。 习 题 一 17. 设 的势是 ，证明至少有一个 的 势也是 。 18. 证明 上实函数全体具有势 。 19. 设 称为 的 内点集，证明 是开集。 20. 证明 中孤立点集是有限集或可数集。 习 题 一 21. 假设 是 上任一有限的实函数， 证明它的第一类不连续点全体最多是可 数集。 22. 证明直线上每个闭集必是可数个开集 的交，每个开集必是可数个闭集的并。 习 题 一 23. 假设 是一列开区间，如果 ， 证明 是一个开区间。 24. 设 是 的一个覆盖，证明