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第9讲 可测集及其性质 目的：熟练掌握可测集的性质，学会采用 类比的方法归纳出这些性质。 重点与难点：可测集的性质，可测集序列 的极限之可测性。 第9讲 可测集及其性质 一. 可测集的性质 问题1：回忆Riemann积分的性质，通过 类比的方法，我们可以得到可测 集应具有哪些性质？ 定理1 （i）设 ，则 可测当且仅当 可测； （ii）如果 ，则 可测； （iii） 与 都可测。 证明：若 可测，则对任意 ， ，若令 ， 则 ，于是 故 也可测，反之亦然， （i）证毕。 若 ，则对任意 ， 。 于是由 及 知 。 由（i）、 （ii）立得（iii）。证毕。 定理2 若 都可测，则 , , 都可测。 证明：由定理1与De Morgan公式及等式 ，只需证明 是可测集，即要证明对任意 ，有 我们可以通过 将 分解成互不相交四 块，即 显然 ，故由 的可测性知 同理由 ，得 注意到 ， 且 ，所以 从而 即 可测。证毕。 推论 如果 是可测集，则 也可测集，且当所有 互不相交时，有 证明：由定理2及归纳法立知 可测。下设 互不相交，记 ，则 ，于是 ， （在（2）式中，令 ）。 类似地 故 。证毕。 *定理3 若 都是可测集，则 也是可测集，且当所有 互不相交时，有 证明：由于 、 互不 相交，且当每个 都可测时， 也可测。所以只需就 互不相交情形证之。假如 是任意集合，往证 注意对任意正整数 ，有 由于 与 都可测，且互不相交，故由 知 由归纳法知 从而 令 ，得 所以 是可测集。 在不等式（3）中取 ，则得 即 。证毕。 定理3告诉我们，可测集合的确是完全可加的。由此可见，例1中构造的集合 是 中的一个不可测集合，否则每个 都将可测，而 ，故应有 ，而这正是导致矛盾的关键。 推论 如果 都是可测集，则 也可测。 证明：由于