实变课件3课件.pptVIP

第一节 可测函数的定义及性质 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 1可测函数定义 （3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数 可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 ⒊可测函数的等价描述 对前面等式的说明 ⒋可测函数的性质 注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere） ⑵可测函数类关于四则运算封闭 即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。 ⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。 对上式的说明： 例： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数 例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 可测函数与简单函数的关系 例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。 证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f ga]={x| f( g(x))a}可测即可, 例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。 例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。 * * 第四章 可测函数 yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)? 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数. (2)简单函数是可测函数 注：Dirichlet函数是简单函数 0 1 若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数； 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， ( ) ( ) ( ) f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续) 设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续 证明：任取x∈E[fa], 则f(x)a,由连续性假设知， ( ) x０ f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 则G为开集，当然为可测集，且 证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 ⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( [ a-1/n a ( [ a a+1/n ⑴可测函数关于子集、并集的性质 反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。 即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数； 证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。 a-g(x) r f(x) 推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。 若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。 下确界： ( [ a-1/n a 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数. 从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 证明：由于 gn(x) 注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同. 证明：发散点全体为 收敛点全体为 再 ⒌可测函数与简单函数的关系 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限 M m M m M m n 0 注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛 若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总