密码学数学基础第十讲多项式环3课件.pptVIP

第十讲 多项式环 教师：李艳俊 本节内容 一．环上的多项式环 2．环上的多项式环 例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2?Z3[x]， 计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。 二．域上的多项式环 设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，其中系数ai取自某一个域F。 命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)?F[x]，若g(x)≠0，则必定存在唯一的q(x)，r(x)?F[x]，使得 f(x)=q(x)g(x)＋r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)＜deg g(x)。 q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所得的余式。 三．域上的多项式商环 例4：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。 作业： 1．在Z2[x]中，设 f(x)=x7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， g(x)=x3＋x＋1， 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 * * 一．环上的多项式环 二．域上的多项式环 三．域上的多项式商环 1．未定元 定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R上的一个未定元x。 定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R’是R的扩环，x是R’中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0，a1，a2，…，an，f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn≠0； 则称x为R上的一个未定元。 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未定元，a0，a1，a2，…，an?R，称形如 f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。 如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。 设R是有单位元1的交换环，多项式 f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， g(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm， 其中m≥n，a0，a1，…，an?R， b0，b1，…，bm?R； 规定加法：f(x)＋g(x)=(a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋bn)xn＋bn＋1xn＋1＋…＋bmxm 。 规定乘法： f(x)g(x)=a0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋a0b2)x2＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n 定义3：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，·）称为环R上关于x的多项式环。 （1）R的零元0就是R[x]的零元； 定理3：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元； （2）R的单位就是R[x]的单位； （3）若R是整环，则R[x]也是整环。 定理2：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加法和乘法做成一个有单位元1的交换环。 3．多项式的根 定义4：设R是有单位元1的交换环，f(x)?R[x]，称元素r?R是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0。 例2：求剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式x2－1在Z8内的所有根。 解：f(x)＋g(x)=2x2＋2x＋1， f(x)g(x)=2x3＋2x2＋x＋1。 解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。 练习：在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=x2＋7x＋2的根。 用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。 例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。 例4：设Z3[x]中的两个元a(x)=2x4＋2，b(x)=x5＋2，求gcd(a(x)，b(x))=g(x)；并找出s(x)，t(x)?Z3[x]，使g(x)=a(x)s(x)＋b(x)t(x)。 解：g(x)=gcd(a(x)，b(x))=1； s(x)=2x4＋x3＋2x2＋x＋1， t(x)=2x3＋x2＋2x＋1。 f(x)= g(x)= 求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)