小波与小波变换课件.ppt

多媒体技术教程第7章 小波与小波变换 第7章 小波与小波变换目录 7.1 小波介绍 7.1.1 小波简史 7.1.2 小波概念 7.1.3 小波分析 7.1.4 小波定义 7.2 哈尔函数 7.2.1 哈尔基函数 7.2.2 哈尔小波函数 7.2.3 函数的规范化 7.2.4 哈尔基的结构 7.3 哈尔小波变换 7.4 规范化算法 7.5 二维哈尔小波变换 7.5.1 二维小波变换举例 7.5.2 二维小波变换方法 7.1 小波介绍 小波(wavelet)是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零 7.1 小波介绍(续1) 部分小波 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的 7.1 小波介绍(续2) 7.1 小波介绍(续3) 7.1 小波介绍(续4) 1909: Alfred Haar Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets) 7.1 小波介绍(续5) 1945: Gabor 开发了STFT (short time Fourier transform) 7.1 小波介绍(续6) 1980：Morlet 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) 1986：Y.Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展 7.1 小波介绍(续7) 1988：Mallat算法 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1] 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位 7.1 小波介绍(续8) 小波理论与工程应用 Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的应用 7.1 小波介绍——小波分析 小波分析/小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系 对比傅立叶变换 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息 小波分析中常用的三个基本概念 连续小波变换 离散小波变换 小波重构 7.1 小波介绍——小波分析(续1) 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT) 傅立叶分析 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 小波分析 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 一系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好 7.1 小波介绍——小波分析(续2) CWT的变换过程示例，见图7-3，可分如下5步 小波ψ (t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高 小波右移k得到的小波函数为ψ (t-k) ，然后重复步骤1和2，……直到信号结束 扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ (t/2) 重复步骤1~4 7.1 小波介绍—