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第7章 岩土工程数值分析方法 有限元法 边界元法 有限差分法 离散单元法 1 有限元法 概述 基本思路：将复杂的结构看成由有限个仅在结点处联结的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间的联系再将各单元组装成整体，从而获得整体特性方程，应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析 分析过程： 概述 工程界比较流行、被广泛使用的大型有限元软件：MSC(航空航天领域，是目前规模最大的有限元分析系统)；Marc(非线性分析软件)；Adina(可进行结构、流体、热的耦合计算，具有隐式和显式两种时间积分算法，非线性运算功能强大)；ANSYS（可进行结构、流体、热、电磁场的计算，是有限元分析的通用软件包） 优点：可分析几何形状及受荷条件复杂、非均质的各种实际结构；可在计算中模拟各种复杂的材料本构关系、边界条件等；前后处理技术先进。 有限单元法的理论基础 虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于内力总虚功 最小势能原理 定义1：外力从位移状态退回到无位移的初始状态时所作的功称为外力势能 定义2：形变势能和外力势能的和称为总势能 最小势能原理：实际发生的位移总能使对应l的势能一阶变分为零。推导出总势能的二阶变分为正，所以实际存在的位移使变形体的总势能取极小值。 有限元法的基本方程 单元位移函数 插值函数(形函数) 单元应变矩阵 单元应力矩阵 单元刚度矩阵 岩土体或结构体发生虚位移，单元结点的虚位移为 ，相应的虚应变为 ，则根据虚功原理有： 总体刚度矩阵 由于虚位移 的任意性，等式两边与其相乘的矩阵相等，则： 设结构体剖分成n个单元，根据虚功有： 总体刚度矩阵 等参元分析 平面任意四边形单元 模型范围与边界效应 模型范围 岩土工程涉及无限域或半无限域，但处理问题时只能对有限域进行离散化 模型范围可取结构体轮廓尺寸的3~4倍 边界效应 以小变形理论为基础的有限元法中，力与变形的影响范围是无限域，因此，设定有限域，并假定模型边界的位移为零或为受力边界就会带来误差，靠近边界越近误差越大，靠近边界越远误差越小 初始地应力场与释放荷载 初始地应力场 自然状态的岩体处于一定的初始地应力状态，在结构荷载作用下，岩体内的应力为荷载产生的应力与初始地应力之和 释放荷载 由于初始地应力的存在，开挖将导致部分岩体卸荷，通常采用沿开挖面作用着与地应力等价的“开挖释放荷载” 施工建造过程的模拟 开挖释放荷载 施工过程模拟 节理及不连续面的模拟 平面问题节理单元-Goodman Goodman单元是无厚度4结点单元 结点传递切向力与法向力 节理应力-应变关系 节理单元本构模型 节理单元刚度矩阵(假定位移沿单元长度线性变化) 考虑嵌入的节理单元模拟(考虑转动) 变厚度节理单元 平面六结点变厚度节理单元 相当于四边形等参元 具有一定厚度的单元可按四边形等参元处理 当厚度很小时按等厚度或无厚度节理单元处理 多节理岩体的模拟 等效连续体 利用节理单元来模拟密集分布或随机分布的节理与裂隙是不适宜的，会给离散化与计算带来诸多困难与麻烦 从总体上考虑节理裂隙对岩体的影响，将岩体视为等效的正交异性、各向异性或各向同性体，即等效连续体 将岩体中的节理裂隙当成存在于岩体材料内的一种损伤，因如损伤力学的原理建立损伤模型来考虑节理裂隙的影响 层状岩体 均质各向同性岩体受彝族节理(层理)切割形成层状节理岩体，由于节理弱面的影响使岩体具有横观各向同性的特征，可按一般横观各向同性的连续体来建立有限元模型 岩层走向与纵轴平行且该纵轴为一应力主轴时 岩层走向与纵轴正交，计算平面平行于层面 岩体工程中的弹塑性问题 非线性分析的基本方法 分段线性增量法：将总荷载分成若干增量 误差修正方法 2 边界元法 概述 边界元法是同有限元法并行发展的另一类数值方法,该方法在岩石力学中的应用自20世纪70年代以后有了较大的发展 边界元法通常只须在边界上进行离散化,因而具有数据处理工作量小、占内存小、速度快等优点，但在处理多介质问题、复杂的非线性问题时效率低 边界元法有两种 直接法：直接建立关于边界未知量的积分方程，通过离散化求得边界未知量，并进而求域内任一点的场函数值 间接法：设定一个在域内满足支配方程但包含若干未知系数的解，在边界上强迫其满足边界条件，求得该系数，进而求得边界上及域内各点的场函数值 直接边界元法基本方程 边界元法求解平面问题的步骤 3 有限差分法 有限差分法概述 有限差分方法是将所有研究区域内的基本控制微分物理方程与边界条件近似差分方程表示，而将求解微分方程的问题变成在研究区域内特殊点上求解代