常微分方程ppt12课件.ppt

* * * * §4.5常系数非齐次线性微分方程组 的通解与方程 (4.5.1) 的一个特解之和. 上一节我们 考虑常系数非齐次线性微分方程组 (4.5.1) (4.5.2) 其对应的齐次线性微分方程组为 维列向量 这里 是 实常数矩阵, 是 函数. 根据解的结构定理知, 方程(4.5.1) 的通解为 (4.5.2) 研究了方程 (4.5.2) 通解的求法, 这一节我们只研究 (4.5.1) 的特解即可. 一、常数变易法 方程组（4.5.2）的基解矩阵为 而 ，因此常系数非齐次方程组（4. 5.1）的通解为 (4.5.3) 这里c为任意常数列向量. 方程组（4.5.1）满足初始条件 的解为 (4.5.4) 例4.5.1 利用常数变易法求解初值问题 解: 首先, 我们求矩阵 公式（4.5.4）称为方程组（4.5.1）的常数变易 公式. 因此矩阵 有特征根 对 有特征向量 进而得到对应 的齐次方程组的一个解 的矩阵指数 的特征方程为 对 有特征向量 因此 由定理4.14 知, 对应的齐次方程有解 这样可以得到齐次方程组的解矩阵 因此 又因为 故 是齐次方程组的 基解矩阵, 且 由公式 (4.5.4) 得, 原方程的解为 二、线性变换法 对一些特殊的方程组, 如方程组 (4.5.1) 的系数矩阵 有 个不同的特征向量 则系数 矩阵 可化为对角矩阵 其中 是 的特征根. 此时, 可采用 线性变换 其中 把方程组 (4.5.1) 化为 (4.5.5) 这里 注意到 (4.5.5) 是 个相互独立的方程 (4.5.6) 这里 故可以直接求出它的解 再利用变换 即可求得方程 (4.5.1) 的解. 例4.5.2 求方程组 解: 系数矩阵 的特征方程为 的通解. 因此矩阵 有特征根 对 有特征向量 对 有特征向量 因此, 矩阵及其逆矩阵 分别为 设 则把原方程化为 即 解上面的方程得 则原方程组的通解为 即 三、待定系数法 同n阶常系数非齐次线性方程一样, 某些常系数非齐 次线性方程组也可以用待定系数法求其特解, 如方程 组 (4.5.1) 中 为多项式与指数函数的乘积时就可 以用待定系数法来求其通解. 例4.5.3 求方程组 解: 系数矩阵 的特征方程为 的一个特解. 因此矩阵 有特征根 因为 不是特征根, 故可设特解形式为 把 代入方程组, 得 解得 从而得原方程的特解为 例4.5.4 求方程组 解: 系数矩阵 的特解. 的特征方程为 有特征根 故可设特解形式为 代入方程组, 得 比较t的同次幂的系数, 可得代数方程组 解上述方程得 选取 则得原方程组的特解为 用Maple求齐次方程的解为 restart:diffeq11:=diff(x1(t),t)=-5*x1(t)-x2(t); diffeq12:=diff(x2(t),t)=x1(t)-3*x2(t); sys1g:=dsolve({diffeq11,diffeq12},{x1(t),x2(t)}); 关于常系数非齐次线性微分方程组的解法, 这里 介绍了三种方法, 其中常数变易法具有一般性, 而 线性变换法和待定系数法都具有某种局限性. 前面我们还介绍了消元法和首次积分法, 这些方法 仍然是有效的, 下面举例比较各种方法的优劣. 不取定常数时非齐次线性微分方程组的特解为 例4.5.5 求方程组 解法1(常数变易法): 系数矩阵 的特征方程的特征根为 的通解. 相应的特征向量分别为 (4.5.7) 因此, 可求得 (4.5.7) 对应的齐次方程组的基解矩阵 及其逆矩阵 为 因而, 其通解为 ** * ** * * *