常微分方程ppt19课件.ppt

图5.25(极限环的稳定性态) 对于一个微分方程组，要讨论其相平面上的轨线结构， 除了要研究清楚奇点和稳定性态外还必须弄清 : (1) 极限环的存在性问题； (2) 极限环的稳定性问题； (3) 极限环的个数及相对位置。 5.6.2 极限环的存在性 极限环的存在性一般不是通过求解的办法讨论。而是通过一些其它途径来研究，最经典的方法当属著名的 Poincare-Bendixson 方法，它是通过几何的办法构造出一个满足一定条件的环域 而证明 中必存在闭轨线。也可以利用分支理论（隐函数定理）得到。 定理 5.9 Poincare-Bendixson环域定理 设区域 是由两条简单闭曲线 和 围成的环形域并且满 足下面的条件： (1) 及其边界 上不含奇点； (2) 从 的边界上各点出发的轨线都不能离开（或 进入） ； (3) 均不是闭轨线。 则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨（一个 外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨），如果是惟一的闭轨， 则一定是一个稳定的（不稳定的）极限环。 需要说明的一点是环域定理保证了 中闭轨的存在性， 但不一定是极限环，但如果 是解析函数，则 中的闭轨都是孤立的，因而是极限环。 Maple 程序(稳定极限环) with(DEtools): DEplot([ diff(x(t),t)=-y(t) -x(t)*(x(t)^2+2*y(t)^2-1), diff(y(t),t)=x(t) -y(t)*(x(t)^2+2*y(t)^2-1)], [x(t),y(t)],t=-10..10, [[x(0)=0.5,y(0)=0], [x(0)=-0.5,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=0.5], [x(0)=0,y(0)=-0.5], [x(0)=0,y(0)=1], [x(0)=4,y(0)=0], [x(0)=-4,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=-4], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=4,y(0)=4], [x(0)=-4,y(0)=-4], [x(0)=-4,y(0)=4], [x(0)=4,y(0)=-4]], x=-4..4,y=-4..4, stepsize=0.01, linecolor=blue); Maple 程序( =0.01) with(DEtools): mu:=0.01: DEplot([ diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)^2)], [x(t),y(t)], t=-100..200, [[x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=2,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4]], x=-4..4,y=-4..4, stepsize=0.1, linecolor=blue); Maple 程序( =0.1) with(DEtools): mu:=0.1:DEplot([ diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)^2)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=0.5,y(0)=0], [x(0)=4,y(0)=0], [x(0)=-4,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=-3.8], [x(0)=0,y(0)=3.8]], x=-4..4,y=-4..4, stepsize=0.1, linecolor=blue); Maple 程序( =0.5) with(DEtools): mu:=0.5: DEplot([ diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)^2)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=0.5,y(0)=0], [x(0)=4,y(0)=0], [x(0)=-4,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=-3.2], [x(0)=0,y(0)=3.2]], x=-4..4,y=-4..4, stepsize=0.1, linecolor=blue); Maple 程序( =1.0) with(DEtools): mu:=1.0: DEplot([ diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=-x(t) +mu*y(t)*(1-x(t)^2)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=0.5,y(0)=