常微分方程ppt3课件.ppt

第3章 二阶及高阶微分方程 前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,在 实际的应用中，我们常常遇到高阶微分方程，如 数学摆的方程就是一个二阶微分方程就是一个二 阶微分方程。这一章讨论二阶及二阶以上的微分 方程，即高阶微分方程的求解方法和理论。 在微分方程的理论中，线性微分方程理论 占有非常重要的地位，这不仅因为线性微方程最 简单、它的一般理论已被研究的十分清楚，而且 线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。 本章内容 3.1 可降阶的高阶方程 3.2 线性微分方程的基本理论 3.3 线性齐次常系数方程 3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数 3.5 高阶微分方程的应用 在这一节我们用t表示自变量，x,y…等表示函数 §3.1 可降阶的高阶方程 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过 变量代换把高阶方程的求解问题转化为低阶的方程求 解。因为一般说来，求解低阶方程比求解高阶方便些。 本节将介绍三种可降阶的方程类型及求解方法。 阶微分方程一般地可以写为 3.1.1 不显含未知函数x的方程 如果能求得 (3.1.3) 的通解 解： 令 ，则方程化为 这是一个一阶方程,其通解为 ，即有 积分四次得原方程的通解 3.1.2 不显含自变量 的方程 不显含自变量的方程的一般形式是 用数学归纳法易得， 例 3.1.2 求方程 3.1.3 全微分方程和积分因子 若方程 的左端是某个 阶微分表达式 对 的全导数，即 则称(3.1.6)是全微分方程，显然 方程(3.1.7)是 阶的，若能求出(3.1.7)的全部解 则它一定也是原方程(3.1.6)的全部解. 有时方程 (3.1.6)本身不是全微分方程，但乘以一个适当的因子 后能成为全微分方程。这时，就称 是方程(3.1.6) 的积分因子 例 3.1.3 求方程 故有 阅读材料: 最速降线问题 确定一个连 接二定点A,B的曲 线,使质点在这曲 线上用最短的时 间由A滑至B点(忽 略摩擦力和阻 力)。 背景 restart: printlevel:=0: with(plots): animate({[n*2*Pi+0.2*sin(t),-n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], [s,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[ (n*2*Pi)^2/2/Pi+0.2*sin(t), # -n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi],[s^2/2/Pi,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[2*Pi+2*Pi*cos((1+n/2)*Pi)+0.2*sin(t), # 2*Pi*sin((1+n/2)*Pi)+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], # [2*Pi+2*Pi*cos(s),2*Pi*sin(s),s=Pi..3*Pi/2]}, n=0..1, frames=200, scaling=constrained); 沿直线下滑 沿抛物线下滑 沿圆弧下滑 解：建立坐标系 利用Maple计算 printlevel:=0: y:=x; #y:=sqrt(1-x^2); #y:=sqrt(x); y1:=diff(y,x); y2:=sqrt(1+y1^2)/sqrt(2*9.8*y); t:=int(y2,x=0..1); evalf(t); 沿着3条曲线下落的时间分别是 0.638877, 0.584395, 0.592262 计算结果 最速降线满足的方程 时间计算： restart: t1:=fsolve(t-sin(t)=1-cos(t),t,0.1..3); c:=1/(1-cos(t1)); x:=c*(t-sin(t));x1:=diff(x,t); y:=c*(1-cos(t));y1:=diff(y,t); z1:=sqrt(1+(y1/x1)^2); z2:=sqrt(2*9.8*y); z:=z1/z2*x1; time_of_dropping:=int(z,t=0..t1); 通过数值积分得到的下滑时间为