常微分方程ppt_18课件.ppt

§5. 5 Liapunov 第二方法 上一节我们讨论了按线性近似决定了非线性方程 组零解的稳定性问题，这仅是在零解邻域内的稳定 性。本节我们介绍研究大范围稳定性的Liapunov 方 法：不去求解而通过导数的信息来判断稳定性。 例 讨论微分方程组 零解解的稳定性 令 为解曲线上任意一点到零解的距 离平方，则 5.5.1 定号函数 Liapunov 在他著名的“运动稳定性的一般问题”中创立了解决稳定性问题的两种方法，我们介绍的第二方法是基于能量函数的概念，提出了利用定号函数来直接判定解的稳定性的方法。 Liapunov 稳定性定理 证明的几何说明 证明的几何说明 稳定性定理的应用举例 Liapunov 不稳定性定理 5.5.3 稳定性定理的几何意义 考虑平面几何自治系统 (5.5.6) 并设可以找到一正定的 ，且 常 负。由前边正定函数的几何解释知，如果系统的 任一积分曲线 5.5.4 二次型形式的 函数 定理 5.5 ～5.7 给出了自治方程组零解稳定、渐近稳定及不稳定的充分条件。但这些条件不是必要的，而且也没有具体的构造 Liapunov 函数的一般方法，对于一些具体的系统关于 Liapunov 函数的构造有许多更深入的工作，比如由代数知识知对于平面系统常用二次型作为正定或负定 函数，那么下边的结果是显然的。 例 5.5.3 构造二次型函数证明系统 (5.5.8) 的零解是渐近稳定的。 证明 取如定理 5.8 中的 作业 P315 习题 5.5 5 函数 则 * * 称为V函数或 Liapunov 函数。 设 是定义在 上的单值连续函数，并且具有连续偏导数， 。 如果在域 内恒有 ，则称函数 为常正（常负）的，如果对于一切 都有 则称 为正定（负定）的。习惯上我们把这些函数 是负定（常负）的； 在二维空间 上 是正定的, 是常正的。 结论1 如果函数 是正定（常正）的， 则 域内单调扩大。 结论2 如果 是一个有二阶连续偏导数的 二维正定 函数，则对于适当的 ， 是一条包围原点的闭曲线。 正定函数的几何意义: 是包围原点 的闭曲线, 且在原点的邻 结论 2的说明： 且可以化为 (5.5.1) 5.5.2 稳定性基本定理 如何应用 函数来确定非线性微分方程组解 的稳定性问题？ 考虑非线性自治系统 其中 解的存在惟一性条件。 (5.5.1) 的解为 假定 且 在原点的某个邻域内满足 函数 反映了解曲线上的点 处函数 的大小，从而体现了解曲线上点的位置。 反映了解曲线上点的变化情况。 称为 沿着方程组(5.5.1)的解曲线的全导数． 的全导数为 例 5.5.1 求函数 沿着平面自治系统 的全导数。 解：利用公式(5.5.2)得此函数 沿着系统(5.5.3) 得到证明思路 定理5.5 对于系统(5.5.1)，如果可以找到一个 正定的函数 ，且此 函数沿着系统(5.5.1) 的全导数 为常负函数或恒等于零，则方程组 (5.5.1) 的零解是稳定的。 从几何意义 证明：任取正数 ，由于 续函数， 在有界闭集 上必有最小值， 与 有关且 。 又由于 ，且 连续，必存在 使得当 时， 是正定的连 。而 一个充分小的 有 。 但是，由于 现取初值 ，使 ，并记系统(5.5.1)在 时刻从 出发的解为 对于一切的 都有 。若不然， 则必存在一个时刻 使得 因而 。 ， 为负定函数，则(5.5.1)的零解是渐近稳定的。 而 （或恒等于零），所以 。 因而 此矛盾说明对于一切 ，都有 ， 即系统 (5.5.1) 的零解是稳定的。 定理 5.6 对于系统 (5.5.1) ，如果可以找到一个正定 函数 ，且沿着方程组(5.5.1)的全导数 证明 只需证明在定理 5.6 条件下零解还是吸引的即可。 记 ， 下证 由稳定性知必存在 ，使得当 时对 一切 有 由于 正定， 负定，所以 关于 单调减有下界，因而有极限, 假设 ，则必是 ，那么对于任何的 有 。 又由 连续正定且 知，必存在 使对于任何 ，有 由于 有连续的偏导数，所以 在 上连续， 有最大值，记 故 在 。 由 的负定性知 。