常微分方程初值问题的数值解法课件.ppt

* 的解 阶可微，将 在 点展开为泰勒级数，有 (1.22) 由方程可得 因此 式中， 都是相对于变量的偏导数。于是式 (1.22)可写成 其中 舍去 ，可得 称 为一般单步法，显然局部截断误差 所以局部截断误差为 ，在式(1.23)中令 ，即得欧拉法。 为任意关于 的函数，其对于 微分方程 的解 满足 (1.24) 且 为使上式成立的最大整数，则称 (1.25) 为 阶单步法，欧拉法为一阶单步法，泰勒级数法式(1.23)为 阶单步法。 定义 1.2 给出单步法 1.4.2 一般单步法基本理论 定义 1.3 如果 ，则称单步法 为与初值问题(1.3)相容的。 从而 由单步法的定义得: 因此有如下定义: 定理 1.5 如果 对于 ， 以及所有实数 满足 条件，则单步法(1.23)稳定。 欲使定理成立要证明存在常数 , 对 定理 1.6 如果 对于 ， 以及所有实数 关于 满足 条件，则 收敛的充要条件是格式相容，即满足 。 由相容性可以得到格式的收敛性: 定理 1.7 在定理1.5的条件下，如果局部截断误差 为 ，则单步法 的整体截断误差 满足 (1.26) 特别若 ,则 ，整体截断误差比局部截断误差低一阶。 关于单步法的整体截断误差 ，有: 1.4.3 格式 从前面讨论可见，构造高阶单步法的关键在于构造 ，使 中的局部截断误差阶尽可能高。前面我们利用泰勒级数法构造了一个欧拉法，这时 ，局部截断误差与 同阶，这是一个一阶格式。为了要求 ，利用泰勒级数法得到一个二阶格 (1.27) 这时我们有 格式(1.27)计算过程中要求函数 的二个偏导数 在 处的值，比较麻烦，可以预计，利用泰勒级数法推导出的高阶格式需要求更多的偏导数值，计算繁复。那么是否可以避免计算偏导数，而得到高阶单步格式的 呢？分析梯形法的预报校正格式(1.20) 二级二阶 方法。一般而言，二级二阶 格式可以写成 (1.28) 适当选择参数 ，使局部截断误差 由 因此要求满足 (1.29) (1) 取 ，则 ,即得二级二阶 法 (1.30) (2)令 ， ，由此得算式为 (1.31) 这是一个含有四个参数、三个方程的方程组,因此 由一个自由参数，解答不唯一。 改进欧拉公式 变形欧拉公式 (3) 取 ， ，则有 (1.32) 根据同样的思想,可以构造更高阶精度的Runge-Kutta 方法。 (1.33) 三级三阶 Runge-Kutta法一般可以写成： (1.34) 故要求 ，必须有 (1) 令 ，则 ， 故有 三级三阶算法 (1.36) 令 ，解得