常微分方程及其应用课件.ppt

第六章　微分方程 (i) 特征方程有两个不相等的实根： (ii) 特征方程有两个相等的实根： (iii) 特征方程有一对共轭复根： 解下列微分方程: 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 例8 设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体。当物体处于静止状态时，作用在 物体上的重力与弹簧作用于物体的弹性力大小相等、方向相反。（这个位置就是物体的平衡位置）。现有一外力使物体离开平衡位置，并随即撤去外力，那么物体便在平衡位置附近作上下振动，求物体的振动规律。 取X轴铅直向下，平衡位置 为原点。 设在时刻t物体所在的 位置为x，则x=x(t)为所要求的 振动规律。 1、当振幅不大时，弹簧使物体 回到平衡位置时的弹性恢复力f 和物体离开平衡位置的位移x成正比： * * bellar@ 第一节　微分方程的基本概念 第二节　可分离变量的微分方程 第三节　齐次方程 第四节　一阶线性微分方程 第五节　可降阶的高阶微分方程 第六节　二阶常系数齐次线性微分方程 例　一曲线通过点 ，且在该曲线上任意点 　处的切线斜率为横坐标的两倍，求这曲线的方程。 在许多实际问题中，往往不能找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。 一、微分方程 　　凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程。（未知函数的导数必须出现。） 如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 判断下列方程是否为微分方程： 否 是 是 二、微分方程的阶 　　微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 一阶 三阶 三阶 三、微分方程的一般形式 1、一阶微分方程 或 2、二阶微分方程 或 四、微分方程的解 若函数满足，把它及它的导数代入微分方程时，能使方程恒成立，这样的函数称为微分方程的解。 1、微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ２、微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的（即不含 任意 常数），就称为微分方程的特解。 五、初值条件 在通解中含有任意常数，为了得到特解必须根据一些条件来确定这些常数，这种条件称为初值条件。 一阶微分方程 二阶微分方程 求一阶微分方程 满足初值条 件 的特解这样一个问题，称为一阶微 分方程的初值问题。 六、初值问题 记为 例1　验证函数　 　　　 是微分方程　　 的通解。 例2　求例1中 满足初始条件 ，　 的特解。 例3 已知曲线上点 处的法线与x轴的 交点为Q，且线段PQ被y轴平分，求曲线方程。 定义 如果一个一阶微分方程能化成 （１） 的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程。 设 和 的原函数分别为 和 。 对(1)两边积分，则得 （2） 　　　　　　 二元方程（２）就称为微分方程（１）的隐式通解。 例3 设降落伞下落后，所受空气阻力与速度成正比（系数为k，k0）。设开始速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。 例2　求微分方程 的通解。 例1 求微分方程 满足 的通解。 例4 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，这 外力和时间成正比。在 时，速度等于 ，外力为 。问从运动开始经 过了 后质点的速度是多少？ 一、定义