常微分方程数值解法课件.ppt

主 要 内 容 简单的数值方法与基本概念 1.Runge-Kutta 法的一般形式 2. 2级2阶Runge-Kutta方法 式(9.11) 称L级p阶Runge-Kutta方法(简称R-K法)。 当L＝1就是欧拉法，当L＝2时为改进的欧拉法。 3. 经典Runge-Kutta方法 我们可以构造出一族3级3阶，一族4级4阶和一族5级4 阶等R-K方法。最常用的4级4阶是如下的经典R-K方法： 4．R-K-Fehhlberg 方法 R-K-Fehhlberg方法是在R-K方法的基础上引进误差和步长 控制的办法。即利用5阶R-K法 5. 隐式R-K方法 类似于显式R-K公式，稍加改变，就得到隐式R-K方法。 通常，同级的隐式公式获得比显式公式更高的阶。常用的隐式 R-K法有: 6.变步长方法 在单步法中每一积分步步长实际上是相互独立的，步长的 选择具有了灵活性。根据合理地选择每一积分步的步长， 既保证精度的要求，又可以减少计算量，从而减小舍入误 差。其方便的控制手段是基于误差的事后估计式。 单步法的相容性、收敛性和稳定性 单步法的相容性 定义一：对于（9.1.1）常微分方程初值问题 单步法的形式可以变表示为 （9.2.19） 其中 h为步长 若对求解区间中任一固定的x，当 时皆成立 单步法的收敛性 定义二： 设 y(x) 是（9.1.1）的解， 是单步法（9.2.19）产生的数值解，对于每一个固定的 , ， 当 即 。若成立 ， 则称该方法是收敛的。 单步法的稳定性 定义三： 若一个数值方法在基点 处的值有 的扰动，在 此后各基点 （mn）处的值产生的偏差均不超 过 ，则称该方法是稳定的。 单步法的稳定性有以下定理 相容性和收敛性的关系 定理一： 若单步法的增量函数对变量y满足Lipschtiz 条件， 即存在与 h , x 无关的常数 L， 对区域D= 任意两点 （x，y1）,(x,y2)成立，则单步法收敛的充分必要 条件是相容性条件成立。（读者自证） 相容性和方法阶的关系 若单步法是p阶方法则成立 若单步法满足相容性条件，得 所以 =0 也就是说单步法的阶数一定要是正数。由于我们考虑 的单步法皆为正整数，p至少为一。因此我们考虑的 单步法都满足相容性条件。 稳定性和收敛性的关系 若单步法的增量函数满足定理二的条件即单 步法是稳定的则单步法收敛的充分必要条件 是 相容性条件成立。 绝对稳定性和绝对稳定域 稳定性问题是一个比较复杂的问题。为了简化讨论一 般仅对试验方程 进行考察。这里假定 Re0,即试验方程本身是稳定的。 定义三： 若求解微分方程的数值方法对试验方程和给定 的步长h，在计算时引入舍入误差 ，这个 误差在计算后继的 ，k＝1,2,…所引起的 误差按绝对值均不增加，就称该方法是对这个 步长h和复数是绝对稳定的。保证数值方法绝 对稳定性的h0和的允许范围，称为该方法的 绝对稳定域。 绝对稳定性和绝对稳定域2 将Euler方法应用到试验方程得 误差方程是 要求误差不增长则 1.Adams方法 2.米尔尼方法、汉明方法及辛普森方法 3.预测校正方法 4.多步法的相容性、稳定性和收敛性 考虑型如 的k步法， 称为阿当姆斯（Adams）方法 Adams隐式公式 同理得到5个待定参数方程组。解之得 ， ， ， ， 。 构成著名的Miline 4步4阶显式公式和它的余项。 同理得到5个参数方程组。求解后就构成著名的3步4阶隐式Hamming公式和它的余项。