常微分方程讲课课件.ppt

常 微 分 方 程 第一节 微分方程的基本概念⒈ 微分方程 ⒉ 微分方程的阶 ⒊ 微分方程的解 ⒋ 初始条件 第二节 一阶微分方程 ⒈ 可分离变量的一阶微分方程 例3： ⒉ 齐次方程 ⒊ 一阶线性微分方程 ⑵ 一阶线性非齐次微分方程 解法举例：例1 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解结构 ⒉ 二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 ⒈ 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 ⒉ 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 二阶常系数线性齐次微分方程 ② 因为 将 ， 和 代入方程 ② ，得 即 续⑵ 二阶常系数线性齐次微分方程 ② ③ 特征方程 因为 r 是特征方程的重根，故 ， 于是得 ，取满足该方程最简单的不为常数的函数 从而 是方程 ② 的一个与 线性无关的解。 所 以方程 ② 的通解为 续⑵ 二阶常系数线性齐次微分方程 ② ③ 特征方程 ⑶ 当 时，特征方程 ③ 有一对共轭复根 其中 ， 这时方程 ② 有两个复数解 在实际问题中，常用的是实数形式的解， 应用欧拉公式 ⑶ 二阶常系数线性齐次微分方程 ② 得 于是有 由上节定理 1 知，函数 与 均为方程 ② 的 解， 且它们线性无关， 因此方程 ② 的通解为 续⑶ 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 的通解步骤如下： ② ⑵ 求出特征方程的两个根 r1，r2； ⑶ 根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程 ② 的通解： ⑴ 写出微分方程 ② 的特征方程 一对共轭复根 r1，r2 = 两个相等的实根 两个不等的实根 r1，r2 微分方程 的通解 特征方程 的两个根 解题步骤 例1 求微分方程 的通解。 解：特征方程为 ，有两个不相等的实根 故得原方程的通解为 例1 例2 求微分方程 满足初始条件 解：特征方程为 ，有两个相等的实根 故方程的通解为 的特解。 代入初始条件 ，求得 所以原方程满足初始条件的特解为 例2 例3 求微分方程 的通解。 解：特征方程为 ，有一对共轭复根 故原方程的通解为 例3 ① 由上节中定理 3 可知，线性非齐次方程 ① 的通解 y 等于它的 一个特解 y * 与它所对应的线性齐次方程 ② 的通解 Y 的和，即 方程 ② 的通解 Y 的 求法前面已讨论 过， 因此， 现 在 只需解 决如何求线性非齐次方程 ① 的一个特解 y * . * 参考资料： 1. 《高等数学》第六版（下册）第七章，同济大学数学系编，高教版. 2. 《常微分方程》（第三版），王高雄等编，高教版. 3. 应用常微分方程，金福林等编，复旦大学出版社。 4. 多元分析基础（第八章 偏微分方程），曹华定、罗汉主编，科学出版社。 第一节 微分方程的基本概念 第三节 可降阶的高阶微分方程 第二节 一阶微分方程 第四节 二阶常系数线性微分方程 ⒈ 可分离变量的一阶微分方程 ⒉ 齐次方程 ⒊ 一阶线性微分方程 ⒈ 二阶常系数线性微分方程解的结构 ⒉ 二阶常系数线性微分方程的解法 目录 如 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程； 当未知函 ⒈ 微分方程 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 数是多元函数时，微分方程中必出现未知函数的偏导数，因而称 为偏微分方程。 例如，梁的横振动 （b2为常数） 就是一个重要的偏微分方程。 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 例如， 是二阶微分方程。 练习：试说出下列微分方程的阶数 ⑴ ⑵ ⑹ ⑶ ⑷ ⑸ 如果将某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则 求微分方程解的过程称为解微分方程。 称这个函数为该微分方程的解。 例如，微分方程 函数 是它的解。 函数 （ C 为常数 ）也是它的解。 又如，微分方程