常微分第一章课件.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * 自Newton和Leibniz创立微积分之后, 尽管有众多不完善的地方, 但是由于其强大的生命力以及对解决实际问题所起的积极的和不可替代的作用, 使得微积分的应用范围迅速扩大并产生了一些新的数学分支, 微分方程就是其中的一个. * * * 对于微分方程的求解, 数学家们最初只是用特殊的方法和技巧解决特殊的方程, 后来才逐渐开始寻找带有普遍性的方法. * * * * * * §2 概念及历史 4. 定性理论阶段: 十九世纪末二十世纪初 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展: 解析理论、Poincare的定性理论、Liapunov的稳定 性理论. 定性理论的创始人: Poincare, Bendixson, Birkhoff, Andronov, Pontryagin等人也做了很好的工 作. Liapunov建立了稳定性的一般理论, 给出了判定 稳定性的普遍的数学方法与理论基础. §2 概念及历史 5. 二十世纪中期以后 常微分方程由应用和其自身发展的推动不断 发展, 至今依然是非常活跃的一门学科. 作业 P27 3(2, 4, 6, 8), 4, 5, 7, 8(1, 3, 7). §2 概念及历史 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 根据函数F的形式可以对微分方程进行分类。 * * * * * * §2 概念及历史 一般的n阶常微分方程的形式为 这里 是 的已 知函数, 且一定含有 y是未知函数, x为自变量. 在本教材中把常微分方程简称为“微分方程”, 有时更简称为方程. §2 概念及历史 如果在(1.38)的左端是 其中a1(x),?, an(x), f (x)是x的已知函数. 不是线性方 程的方程称为非线性微分方程. 例如 的 一次有理整式, 则称(1.38)为n阶线性微分方程. 其 一般形式为 §2 概念及历史 2. 微分方程的解 如果函数 y ?? (x)代入方程(1.38)后, 能使之成 为恒等式, 则称函数 y ?? (x)为方程(1.38)的解. 如果关系式?(x, y) ? 0决定的函数 y ?? (x)为方 程(1.38)的解, 则称为方程(1.38)的隐式解. 隐式解 也称为“积分”. §2 概念及历史 含有n个独立的任意常数c1, c2 , ?, cn的解 称为n阶方程(1.38)的通解. 注 解对常数的独立性是指: ? 及其直到n ?1阶 导数(对于自变量x)关于c1, c2, ?, cn的雅可比行列 式不为零. §2 概念及历史 如果关系式?(x, y, c1, c2 , ?, cn) ? 0决定的 函数 为方程(1.38)的通解, 则称为方程(1.38)的隐式通解. 隐式通解也称为“通积分”. §2 概念及历史 为求微分方程一个特定的解而给出的解所 必需满足的条件称为微分方程的定解条件. 常见 定解条件有初值条件和边界条件. n阶微分方程(1.38)的初值条件指以下n个条件: 其中 当 时, 条件有时也写为 是给定的n ?1个常数. 初始 §2 概念及历史 求微分方程满足定解条件的解称为定解问题. 当定解条件为初值条件时, 相应的定解问题称 为初值问题. 满足初值条件的解称为微分方程的特解. 一般地, 特解可以通过初值条件的限制, 从通解 中确定任意常数而得到. §2 概念及历史 微分方程 的通解为 满足初始条件 的特解为 §2 概念及历史 微分方程 的通解为 满足初始条件 的特解为 §2 概念及历史 3. 积分曲线和方向场 一阶微分方程 的解y ?? (x)表示Oxy平面上的一条曲线, 称为微分 方程的积分曲线. 注 积分曲线上过每一点的切线的斜率为f (x, y) 在该点的值; 而一条曲线上每一点处的切线斜率为 f (x, y)时该曲线为积分曲线. §2 概念及历史 设D为Oxy平面上的区域, f (x, y)在D上有定 义. 用 f (x, y)定义在D上过各点的小线段的斜率方 向, 这样的区域称为方程(1.47)所定义的方向场, 又称为向量场.