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定理 设函数F(x , y , z)在点P(x0, y0, z0)的某一邻域 则方程 F(x , y , z) = 0 在点(x0, y0, z0)的某邻域内可唯一 确定一个单值连续函数 z = f (x , y ) , (1) 具有连续的偏导数; (2) (3) 满足 z0 = f (x0 , y0)， 并有连续导数 内满足 二元隐函数求导公式 隐函数求导公式 定理 设F(x , y , u , v)、G(x , y , u , v)在点P(x0, y0, u0 ,v0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数， 又 F(x0, y0, u0 , v0) = 0，G(x0, y0, u0 , v0) = 0， 且偏导数所 组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式) 隐函数求导公式 在点P(x0, y0, u0 , v0)不等于零， 则方程组 在点P(x0, y0, u0 , v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续 且具有连续偏导数的函数 u = u(x , y)，v = v(x , y)， 它们 满足条件u0 = u(x0 , y0)，v0 = v(x0 , y0)， 并有 隐函数求导公式 隐函数求导公式 设空间曲线 ? 的参数方程为 曲线 ? 在 t = t0 处的切向量为 切线方程 法平面方程 空间曲线的切线与法平面 如果空间曲线的方程为 切线方程 法平面方程 空间曲线的切线与法平面 如果空间曲线的方程为 切向量为 M(x0 , y0 , z0)是曲线上的一个点． 又设F、G有对各个变 量的连续偏导数，且 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 空间曲线的切线与法平面 设空间曲面 ? 的方程为F (x , y , z) = 0, M(x0 , y0 , z0) 为曲面?上的一点,函数F (x , y , z) 的偏导数在该点连续 且不同时为零． 曲面在M处的一个法向量. 空间曲面的法向量、切平面与法线 切平面方程为 法线方程为 空间曲面的法向量、切平面与法线 设曲面方程为 z = f (x , y) . 令 F(x , y , z) = f (x , y) – z , 则法向量 切平面方程 法线方程 空间曲面的法向量、切平面与法线 设曲面 ? 的方程为下列参数方程 则曲面 ? 在点M0处存在切平面并有法向量 空间曲面的法向量、切平面与法线 定理 如果函数 f (x , y) 在点 P0(x0 , y0) 可微分，那 么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在，且有 其中 cos? , cos? 是方向 l 的方向余弦． x y P0 P l ?x ?y t ? ? 方向导数 如果函数 f (x , y , z) 在点 P0(x0 , y0 , z0) 可微分，那么 函数在该点沿着el = (cos? , cos? , cos?)的方向导数为 方向导数 定义 设函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0)可偏导，称向量 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0)处的梯度(gradient), 记作 grad f(x0 , y0) 或 ?f(x0 , y0) ，即 梯度 设函数f (x, y , z) 在空间区域 G 内具有一阶连续偏导 数，P0(x0 , y0 , z0) ? G， 则函数f (x, y , z) 在P0处的梯度 定义为 梯度是这样一个向量：它的方向是方向导数取得最 大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值． 梯度 定理 (必要条件) 函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 存 在偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 二元函数极值存在的条件 时, 具有极值 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则 1) 当 A0 时取极大值， A0 时取极小值； 2) 当 3) 当 时, 没有极值； 时, 不能确定 , 需另行讨论. 且 若函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 定理 (充分条件) 二元函数极值存在的条件 求目标函数 z = f (x , y) 在约束条件 ? (x , y) = 0 下的 设函数 f (x , y) 与 ? (x , y) 具有连续的偏导数， 条件极值的拉格朗日乘数法如下： 作拉 格朗日函数 L(x , y , ?) = f (x , y) + ? ? (x , y) ， 如果 x = x0 , y = y0 是方程组 的解， 那么点(x0 , y0)就是该条件极值可能的极值点. 拉格朗日乘数法 Orthocircles曲面 高次代数曲面 Clebsch Cublic曲面 高次代数曲面 星球面 高次代数曲面 六通管道 高次代数曲面 爱心礼盒 高次代数曲面 设曲