广义积分与课件.pptVIP

一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 *三、?函数 小结 * 第四节 广义积分与?函数 一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 *三、?函数 定积分 要求f(x)必须在有限区间[a, b]上有界, 如果不满足函数的有界性与区间的有界性, 就引入了广义积分(也称反常积分)的概念. 定义1 设函数 f (x)在[a, +?)上连续, 取 b a, 如果极限 存在, 则称此极限值为函数 f (x)在无穷区间[a, +?)上的广义积分, 记作 即 这时也称广义积分 收敛; 如果上述极限不存在, 这时记号 发散. 不再表示数值, 称广义积分 类似地可以定义广义积分 定义2 设函数 f (x)在(??, +?)内连续, 如果广义积分 都收敛, 则称它们的和为广义积分 此时称 收敛; 否则就称广义积分 发散. 例1 求 解 即广义积分 收敛于 例2 判断广义积分 的收敛性 解 因为 故广义积分 发散. 例3 求 解 因为 故广义积分 收敛于?. 定义3 设函数 f (x) 在(a, b]上连续, 而在a 的右邻域内无界. 取 ? 0, 如果极限 存在, 则称此极限值为函数 f (x) 在(a, b]上的广义积分, 记做 这时也称广义积分 收敛, 否则称广义积分 发散. 类似地, 设函数 f (x) 在[a, b)上连续, 当 x ? b - 时, f (x) ? ?, 取 ? 0, 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在[a, b)上的广义积分, 记做 这时也称广义 积分 收敛, 否则称广义积分 发散. 定义4 设函数 f (x)在[a, b]上除点c (a c b)外均连续, 当 x ? c 时, f (x) ? ?, 如果两个广义积分 都收敛, 则称广义积分 并定义 否则称广义积分 发散. 收敛, 例4 求 解 x = a是函数 的无穷间断点. 故 例4 求积分 解 被积函数 在积分区间[-1, 1]上除 x = 0 外 均连续, 且 所以, 此积分为广义积分, 故 所以, 广义积分 发散, 从而广义积分 发散. 是参数 s 的函数, 称为?函数 在概率论与数理统计中, 常见到一个积分区间无限且含有参变量的积分. 定义5 积分 ?函数是一个收敛的广义积分, 它有下列重要性质. (1)?(s +1) = s?(s). 证 (2)?(n +1) = n! (n为正整数). 证 ?(n + 1) = n?(n) = n(n ? 1)?(n ? 1) = ??? = n(n ? 1)???2?1?(1) = n!?(1). 而 所以 ?(n +1) = n! 例6 计算下列各题： 解 *