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广义积分 高等数学 * * 一、无穷区间的广义积分 例 1　求由曲线 y = e-x， y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积. 解　这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取 b ?[0, + ?)， 在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为 b y = e-x y x O (0,1) y = e-x y x b O (0,1) 即 当 b ? + ? 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积， 定义 1　设函数 f (x) 在 [a, + ?)上连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 取实数 b a， 如果极限 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ?) 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 存在， 否则称广义积分发散. 定义 2　设函数 f (x) 在 (- ?, b] 上连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　取实数 a b， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- ?, b] 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 存在， 否则称广义积分发散. 定义 3　设函数 f (x) 在 (- ?, + ?) 内连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　且对任意实数 c， 如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- ?, + ?) 内的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 都收敛， 否则称广义积分发散. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为 例 2　求 解 例 3　判断 解 由于当 x ? + ? 时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 . 例 4　计算 解　用分部积分法，得 例 5　判断 解 故该积分发散. 例 6　证明广义积分 当 p 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证　 p = 1 时，则 所以该广义积分发散. 当 p 1 时， 综合上述， 该广义积分收敛. 当 p ≤ 1 时， 该广义积分发散. p ? 1 时，则 例. 解: 考虑 1 b x y 0 例7. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由 给出, 其中q1, q2是电荷的数量, k为常数. 若q1, q2的单位为库仑(C), a, b是米(m), E的单位为焦耳(J). k = 9?109. 一个氢原子由一个质子和一个电子组成, 它们带有数值为1.6?10–19 C的相反电荷. 求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量. 假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB = 5.3?10–11m. 解: 因为由初始距离RB移动到最终距离?的能量由广义积分表示为 代入使用的单位(E的单位为J), 有 这是移动一个微尘粒离开地面0m所需能量的量值, (换句话说不很大!)比较一下, 移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量. 自学 二、无穷间断点函数的广义积分 定义 4　设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续， 取 e 0 ， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散. 且 记作 即 存在， 定义 5　设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续， 取 e 0 ， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上的广义积分. 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散. 且 即 存在， 　　定义 6　设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c ? (a, b) 外连续， 如果下面两个广义积分 则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 否则，称广义积分发散. 记作 即 都收敛， 若 F(x) 是 f