弹塑性力学第03章课件.ppt

第三章 弹性力学平面问题 §3-1 平面应力问题和平面应变问题 §3-2 平面问题的应力函数解法 §3-3 代数多项式解答 §3-4 若干典型实例 §3-5平面问题的极坐标方程 §3-6 平面轴对称应力问题 §3-7 圆孔孔边应力集中 §3-8 楔形体问题 §3-9 半平面问题 * §3-10 Airy应力函数的物理意义 §3-1 平面应力问题和平面应变问题 严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题（三维问题），从而要归结为求解复杂的偏微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何形状和受力情况（包括约束条件）具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为所谓的弹性力学平面问题，在数学上属于二维问题。这样处理，将使分析和计算工作量大为减少，而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。 根据弹性体的形状与受力特点，弹性力学平面问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。 一、平面应力问题 由于板很薄，外力又不沿厚度方向变化，应力沿着板厚又是连续分布的，因此，可认为在板的内部，这三个应力分量是很小的，不妨近似认为在整个板内为零。 一点处的应力状态 平面应力问题 注意到切应力互等性，可知，只剩下平行于xoy面的应力分量： 将此三个应力分量看成与z无关的、关于x，y的函数 切应力互等定理 两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理。（材料力学P61） 平面应力问题基本方程 在平面应力问题中，随着物理量的简化，基本方程也随之简化 。 弹性力学的基本方程 （一般情况） 平面应力问题的应变协调方程 问题：平面应力问题的以应力表示的应变协调方程 类似三维问题重新推导，能否直接用三维的结论简化而来？ 应变协调方程（一般情况)  应力边界条件（一般情况） 二、平面应变问题 考察图示水坝或受内压的圆筒，它们是母线与Oz轴平行且很长的柱体，所受体力和面力垂直于Oz轴，而且沿该轴方向均匀分布。对于这类物体，不妨认为沿z方向是无限长的。因而，柱体的任意一个垂直于z轴的横截面都可以看成对称截面，在对称截面上的每一点只能在其自身平面（与xOy平面平行）内移动，而沿z方向的位移w为零，因而在整个柱体内有w=0，由此在任意横截面内，沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均与z无关，位移分量就简化为 平面应变问题几何方程 平面应变问题的应力分量 平面应变问题的物理方程 or 平面应变问题的应变协调方程 平面应变问题的应变协调方程经简化得： 两类平面问题基本方程的比较 平面应变问题的基本方程中，平衡微分方程及几何方程与平面应力方程相同，两类平面问题的物理方程的区别在于 E1 、v1与E、v不同。  应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十分重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应力表示的协调方程。 §3-2 平面问题的应力函数解法 对于常体力的情况 小结 平衡方程、应变协调方程以及边界条件中均不含材料常数。这就是说，不同材料的物体，只要它们的几何条件、荷载条件相同，则不论其为平面应力问题或平面应变问题，它们在平面内的应力分布规律是相同的。这一结论为模型试验（例如光弹性试验等）提供了理论基础。应当注意，以上两种情况的应力σz、应变和位移是不相同的。 §3-2 平面问题的应力函数解法 §3-3 代数多项式解答 逆解法(假定不计体力，分别以幂次不同的多项式作为应力函数) 1．取一次多项式为应力函数，即令 = a0 + a1x + b1y 显然，该函数满足双调和方程式（3-11），并对应于无应力状态 由此可见，在应力函数中，一次多项式可以删去，因为它不影响应力分量的值。 逆解法 逆解法即先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。 2. 取二次多项式为应力函数 = a2x2 + b2xy + c2y2 满足 对应的应力分量为 常应力状态  圣维南原理 在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量和