弹塑性力学第三章课件.ppt

第三章 应变分析 §3-1 位移和（工程）应变 §3-1 位移和（工程）应变 §3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量  §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐?标变换式 §3-4主应变、应变方向应变张量的三 个不变量  §3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不  §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） §3-5 变形协调条件（相容条件） 作业： 作业： 作业： 1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2, u3=cx3(x1+x2)2 此处 c为一个很小的常数，求应变张量?ij 和转 动张量 ?ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动?角，求新坐标系应变分量的转换关系。 * * §3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量 的三个不变量 §3-5 变形协调条件（相容条件） ? 在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。 §3-1 位移和（工程）应变 1.1位移 x2 x1 x3 P o P 有三个分量。 P’ u 变形体任意点P的位移矢量 1.2 (工程)应变 工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化，分为正应变和剪应变。 ，?（角变形）＝两微元线段夹角的改变量。 （工程）正应变：?11、?22、?33 ， （工程）剪应变：?12=?xy、?23=?yz、?31=?zx 工程应变共有六个分量： x1 x2 x3 P ?23 x1 x2 x3 P dx1 dx2 dx3 ?22dx2 三个正应变，正应变以伸长为正， 三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。 应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物理量，本节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量. x2 x1 x3 P o P Q 2.1 相对位移矢量和相对位移张量 ——相对位移矢量 P’ u u+du Q’’ P’ Q’ ——（ a） 而 ——(b) 将（b）式代入（a）式，得 2.1 相对位移矢量和相对位移张量 根据商法则 令 为一个二阶张量——相对位移张量 2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。 或 其中 ?ij = ?ji（对称张量）， ?ij = -?ji （反对称张量） 而 ?ij 表示变形体的形变，?ij 表示了刚体转动。 以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR的相对位移来说明并直观看一下?ij，?ij二阶张量表示了形变和刚体转动。 P Q R x1 x2 dx1=1 dx2=1 相对位移 u1 ,1 P’ R’’ Q’’ R’ Q’ x1 x2 dx1=1 dx2=1 u1 ,2 u2 ,1 u2 ,2 ? ? P Q R u1、u2 x1 x2 dx1=1 dx2=1 ?11，?12= ?21，?22 纯变形 ?12= -?21 纯转动 ?12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 ?22=u2 ,2 ?11=u1 ,1 ?21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2 (?+?)/2 + x2 x1 ?12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2 ?21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2 x2 x1 2.3 转动张量的对偶矢量 由纯刚体转动可见，?12= -?21，正好相当于一个沿 x3 轴方向的转动矢量