微积分习题课件.ppt

哈尔滨工程大学理学院公共数学教学中心 5、反函数与直接函数之间的关系 从而 解: 注意到, 若f (x)?A, 则f (x)=A+?, ?为无穷小量. 四.利用两个重要极限计算极限 如何利用重要极限呢 例 7 例 7 原式= 例 8 例 9 练习 (1) (1) 解: ～ ～ ～ ～ ～ ～ 五.用等价无穷小代换求极限 ～ ～ 解: 例 10 ～ ～ 例 11 求 原式 重要极限与四则运算结合 练习 解： 分子有理化 极限非零部分可先提出 计算 分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母 有理化变形，可求出极限。 练习 练习9 由 得 现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(x)的极限 右极限 y x o 1 -1 从右边趋于0 用左右极限相等求极限 左极限 从左边趋于0 左右极限不相等 例 13 例 14 左右极限不相等,所以极限不存在 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 非初等函数 的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 1、连续的定义 定理 3、连续的充要条件 2、单侧连续 4、间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 证： ?? 0, | x3?1 | = | (x?1)(x2+x+1) | = | x?1 | ? | x2+x+1 | 因x?1, 故不妨设 0 | x?1 | 1, 即 0 x 2 故 | x2+x+1 | = x2+x+1 4+2+1=7 从而 | x3?1 | 7 | x?1 |. 考虑: 要使 |x3?1|?, 只须 7|x?1| ?, 即|x?1| 即可. 例 1 适当放大法 典型例题选讲 取? = min ( , 1 ), 则当 0 |x?1|? 时, (有|x ?1|1及 |x?1| ) 有 |x3?1| ?. 例 2 证明 ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , 不妨设 证: 证毕 一.用极限的定义证明极限存在 1．数列极限解题 方法流程图 求 可找到数列 和 满足 应用夹逼准则 验证 单调有界 应用单调 有界准则 恒等变形 应用极限的四则 运算法则求极限 判别 的形式 为分式 应用等价无穷小代换 应用极限的四则 运算法则求极限 恒等变形 求 判别 的形式 为无穷小,且 为未定式 或 为复合函数 应用连续函数的极限运算准则 应用重要极限 函数极限解题 方法流程图 解： 【例 1】*计算 分析 本题含 ，当 与(－0)时，有不同的结果， 需要用左右极限求之。 例 2 解 设 xn 故 夹逼定理 解： 【例3】计算 而 由夹逼准则得 分析 本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看， 可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。 设 证明数列 有极限并求： 例 4 且 证明 因为 下面利用归纳法证明单调性 所以显然有 即 有界 由于 不妨设 成立， 故 所以 单调增加.所以: 有极限. 由单调有界原理知 设 则 解得: 所以 （舍去）. 【例 5】设 （1）证明 存在 （2）计算 解：(1) 由于 所以 又 有下界 即 在 时单