态和力学量的表象课件.ppt

Chapter 4.1 态的表象 Chapter4.2算符的矩阵表示 * * 第四章 态和力学量的表象 引入：三维空间中的一个矢量 ，可在直角坐标系OXYZ下表示为 （Ax，Ay，Az），其中Ai(i=x,y,z)是 在三个坐标轴上的投影。 同一个矢量 也可以在另一个旋转 角（绕Z 轴的）直角坐 标系O 下表示为（ ），二组投影分量之间 可以用矩阵或线性方程组进行变换。 矢量也可在球坐标系下 为（Ar，A A ），与（Ax，Ay，Az)之间也可以作坐标变换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。 量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（repreenstation) 通过广义傅利叶变换，可以将（x）坐标表象的状态矢量变换为以P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量表象等。 一，状态 用动量为变量的波函数描写: 1, 其中 （1） 归一化： 简记：c(p)=( (2) (3) 粒子动量值在 中的几率。实际上 为同一状态 在动量表象中的波函数。 2，具有确定动量值的 的自由粒子的态： (4) 则 略去含时因子： :变量 ：确定值 简记： （5）或（6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: (7)也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程。 二，任意力学量 的表象中的状态 的表示 1，分立谱，例如无限深势阱中电子 ，H原子中电子束缚态 ,谐振子 ,设力学量 的算符 具有分立的本征值： 对应分立的本征函数： 则可以用正交归一完全系 将 展开为级数： 其中 简记： 归一化： 即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量 所得结果为 的几率，而数列 就是 所描写的态在 表象中的表示。写为 列矢量： 其转置复共轭为： ：dagger 归一化： 2,分立谱+连续谱 例如，氢原子中电子能量 ：束缚态 ,电离态 连续；有限深方势阱，当 为束缚态， 分立 ， 则连续， 也是 又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标 ，H原子 中电子的 坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开： 例如 H基态的 表象波函数 即为状态 在 表象中的表示， 即测量力学量 数值为 的几率，而 即测量力学量 值的结果在 内的几率。 归一化： 状态矢量： 归一化： 归纳：求力学量 表象中波函数 即用 算符的本征 函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分: 三，希尔伯特空间(Hibert space) 1，状态 态矢量，选定一个 表象，即选定一特定的坐标系来描述 ， 的本征函数 系 即为这个表象中的基矢， 表象中的波函数 即态矢 量 在 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数 有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。 2，表象常用： 一 1， ，算符 以 左乘（3）并积分： 即 其中 为算符 在 表象中的表示。 分别为状态 和 在 表象中的表示。 即算符 在 表象中是一矩阵， 为其矩阵元。简记为 。 2， 表象中的厄密算符 （厄密性定义） 转置并公厄： 比较 即厄密算符 在 表象中为厄密矩阵。 3。 在自身表象中的矩阵元 可见:算符在自身表象中的矩阵元时一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征 值。如 矩阵 ，一维无限深势阱，谐振子， 为本征值 。 4,如果 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标 ，动量 ），则 积分后 中无