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*/16 热传导问题与热传导方程 热传导方程三类边界条件 Laplace方程与Laplace算子 微分方程(化简)分类方法 《 数理方程》3 ? ? ? ? 傅里叶1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程。 1822年出版专著《热的解析理论》，将三角级数方法发展成内容丰富的一般理论。傅里叶级数、傅里叶积分的理论由此产生，对十九世纪的数学和理论物理产生深远影响。 昆仑冰川 热传导 (热传递的三种基本方式之一) 是指热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象。 其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度.写成分量形式 热传导定律: 热传导起源于温度 u 的不均匀，不均匀程度用梯度 表示; 热流强度 q 表示单位时间通过单位横截面积的热量。根据实验结果得 单位时间内 x 方向净流入: 根据热量守恒定律: 单位时间内 y 方向和 z 方向净流入: 其中, c 是比热, 是密度. 对于均匀物体,有 记 ? 一维热传导方程: ut = a2uxx 二维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 一维热传导方程的初边值问题(第一类边界条件) u = u(x, y, z , t ) u = u(x, y, t ) u = u(x, t ) 初始条件: u(x, y, z, 0)= ? (x, y, z) 三维热传导方程：ut = a2[uxx + uyy + uzz ] II. 第二类边界条件: III. 第三类边界条件: I. 第一类边界条件: (已知边界温度) (边界上有热流进入) (边界上有热交换) L长的细杆边界上有热流进、出 u(x, t ) L O 1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = – q / k 2. 在 x = L 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k 3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k 4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 ux | x=L = – q / k 这里 为沿热流方向的方向导数 ? 边界上有热交换 拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 热传导问题中，如果物体内部没有热源，物体外围温度不随时间变化，经过相当长时间以后，物体内部的温度将不再改变，趋于稳定状态： ut = 0 uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程) ? 记 (Laplace算子) 正方形区域上第一边值问题 准确解: O 1 x 1 y 如何求解？方程通解举例——未知函数为二元函数 ? u(x, y) = f(y) ? u(x, y) = g(x) ? u(x, t) = f( x – at) 1. 2. 3. ? 验证: ? u(x, t) = g( x + at) 4. 6. ? u(x, t ) = f( x – at ) + g( x + at ) ? ? u(x, y) = f(x) + g(y) 5. 二阶线性偏微分方程(两个自变量)分类 通过自变量的非奇异变换简化主部，进而分类求解。 主部 二次曲线分类回顾: a11x2 + 2a12 x y + a22 y2 +b1x + b2y + C = 0 △ 0, 椭圆 △ 0, 双曲线 △ = 0, 抛物线 ? ? 有零特征值 ? 两特征值同号 ? 两特征值异号 标准化后新二次项系数为两个相异特征值 1. 若 a122 – a11a22 0，称微分方程为双曲型的 3. 若 a122 – a11a22 0，称微分方程为椭圆型的 2. 若 a122 – a11a22= 0，称微分方程为抛物型的 称 a122 – a11a22 为判别式 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f 二阶偏微分方程分类 uxx+ uyy = 0 utt = a2uxx ut = a2uxx 双曲型 抛物型 椭圆型 习题 2.2（P.27）1、4 思考题 曲线微元ds和曲面微元dS有何区别？ Fourier热传导定律中温度变化率有哪些表现形式？ 对比二阶方程分类与二次曲线分类方法 可逆线性变换应该具有什么条件？ */16