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*/16 三维热传导方程 热传导问题三类边界条件 Laplace方程与Laplace算子 微分方程(化简)分类方法 《 数理方程》3 ? ? ? ? ? 高斯公式(曲面积分与三重积分的联系) 取 P=ux , Q= uy , R = uz , 则 Px=uxx , Qy= uyy , Rz = uzz 其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度 付里叶热传导定律: 在dt时段内,通过面积元ds流入体积元 的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的 温度变化率 成正比, 也与 ds 和dt 成正比 通过曲面进入导热体的总热量: 其中: 通过曲面进入导热体的总热量: 温度升高所需热量: Q1 = Q2 记 a2 = k/(c?) ? ? 一维热传导方程: ut = a2uxx 二维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 热传导方程的初边值问题(第一类边界条件) u = u(x, y, z , t ) u = u(x, y, t ) u = u(x, t ) 初始条件: u(x, y, z, 0)= ? (x, y, z) ut = a2[uxx + uyy + uzz ] II. 第二类边界条件: III. 第三类边界条件: I. 第一类边界条件: (已知边界温度) (边界上有热流进入) (边界上有热交换) L长的细杆边界上有热流进、出 u(x, t ) L O 1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = – q / k 2. 在 x = L 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k 3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k 4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 ux | x=L = – q / k 这里 为沿热流方向的方向导数 ? 边界上有热交换 拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。 ut = 0 uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程) ? 记 (Laplace算子) 则有 正方形区域上第一边值问题 准确解: O 1 x 1 y 方程通解举例(未知函数为二元函数) ? u(x, y) = f(y) ? u(x, y) = g(x) ? u(x, t) = f( x – at) 1. 2. 4. ? u(x, y) = f(x) + g(y) 3. ? 验证: