数理统计课件81-2课件.pptVIP

相关系数R（样本相关系数） 一、多元线性回归的数学模型 二、回归系数的最小二乘估计 三、回归方程和回归系数的显著性检验 数学的一个重要任务是从数量方面分析、揭示、表达现实世界中普遍地存在着的变量之间的关系。一般来说，变量之间的关系可分为两类： 1. 确定性的函数关系：已知一个（或几个）变量的值，就可以精确地求出另一个变量的值。如 V = 4/3?R3，S = V t 2. 非确定性的相关关系：几个变量之间存在着密切的关系，但不能由一个（或几个）变量的值精确地求出另一个变量的值。在相关关系中至少有一个变量是随机变量。如人的血压与年龄，环境因子与农作物的产量，树木的直径与高度，人均收入与商品的销量，商品的价格与消费者的需求量。 回归分析是研究变量之间的相关关系的一种统计方法。回归（regression）这一术语是1886年高尔顿（Galton）研究遗传现象时引进的。 本章仅简单介绍一元线性回归分析和多元线性回归分析。 8.2 回归分析 例1 以家庭为单位，某商品年需求量与其价格之间的调查数据如下： 价格x（元） 1 2 2 2.3 2.5 2.6 2.8 3 3.3 3.5 需求量y（500g） 5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1. x与y之间是相关关系，不能用解析表达式 y = f(x) 表示。 2. 作散点图。发现这些点分布在一条直线附近。 一元线性回归 yi=β0+β1xi+ ? i (i =1，2，…，n) 3. 把y 看成是由两部分叠加而成：一是x的线性式β0+β1x；二是由随机因素引起的误差? 。于是有 y =β0+β1x+? （1） 假定?i 相互独立，且? i ~ N(0, ? 2) 。称（1）式为线性回归的数学模型。 4. 为估计未知参数β0 、β1，将观测值（xi，yi）代入得 称它们为正规（正则）方程。解正规方程得 选取bi使残差平方和Q最小: 则 即 记 则 一、β0，β1的最小二乘估计 设 b0 ,b1分别为β0,β1的估计值， 即 整理得 记 则 得到经验回归方程 但当假定 y =β0+β1x+ε 不成立时，求得的经验回归方程是无意义的。所以，要检验 “y与x 存在线性关系” 这一假设。 实际上，对任何一组数据都可以用上述方法配一条直线。因此，必须判断y与x 是否真的存在线性相关关系。 欲检验假设 H0: β1= 0 0 SR Se 于是 总平方和 剩余平方和 回归平方和 当 F ＞F?(1，n-2)时，拒绝H0 二、回归问题的统计检验 即 Syy = SR + Se t 检验： ~ t(n-2 )，当 t＞ t?(n-2) 时拒绝H0 查相关系数表得临界值R?(n-2)，当 |R|＞ R?(n-2) 时拒绝H0 查F分布表得临界值F?(1, n-2)，当 F＞ F?(1, n-2) 时拒绝H0 三、预报和控制 所谓预报问题，就是问当x=x0时y应取何值。很自然地想到用 来预报y的真实值y0=β0+β1x0+ε，由于y是随机变量，给出y0的区间估计更为合理。通常是在一定的置信度1-α下，给出y0的容许限或y0的预报区间。 不难证明，当一元线性回归的基本假定成立时，统计量 其中， 为σ的估计。 因此，得到的置信度为1-α的预报区间为 2将曲线问题线性化 本节主要介绍一元线性回归分析中将曲线问题线性化的方法，本节涉及的几条曲线都是初等数学中的常见曲线，无复杂和困难的地方，故本节内容让同学们自学，不再赘述。 值得注意的是，模型 y=?0+?1x+?2x2+ ?pxp 是所谓的多项式回归，令 x1=x, x2=x2, xp=xp, 则有 y=?0+?1x+?2x2+ ?pxp 这就是§10.3中要介绍的多元线性回归问题。 将n次观测数据（xi1，x12，…，xip，yi），i=1，2，…，n代入上面的方程，可得多元线性回归的数学模型： 设因变量y与p个自变量x1，…，xp之间有线性关系： 假定ε1,ε2,…,εn相互独立，且服从同一正态分布N(0,σ2)。 其中ε为随机变量，称为随机误差。 3 多元线性回归 这里ei是?i的估计值，仍称为残差或剩余。令 为yi的估计值,即