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二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 回顾 一阶线性微分方程 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 (1) 提示: 我们把方程y??+P(x)y?+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程. 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x)的通解. 定理3(非齐次方程的通解的结构) 举例: 已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y??+y=0的通解, y*=x2-2是非齐次方程y??+y=x2的一个特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y??+y=x2的通解. 下页 证明提示: [Y(x)+y*(x)]??+P(x)[Y(x)+y*(x)]?+Q(x)[Y(x)+y*(x)] = [Y ??+P(x)Y?+Q(x)Y]?[y*??+P(x)y*?+Q(x)y*] ?0?f(x)?f(x). 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x)的通解. 定理3(非齐次方程的通解的结构) 下页 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法： 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, ① — 待定系数法 三角函数 三角函数 多项式 多项式 指数函数 指数函数 方程 (2) 对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该有什么样子的特解？ λ为常数 ． 方程 有下列形式的特解： 假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 综上讨论可知 设特解为 其中 代入原方程, 来确定Q(x). 例2. 求微分方程y??-5y?+6y=xe2x的通解. 这里Pm(x)?x, λ?2. 与所给方程对应的齐次方程为 y??-5y?+6y=0, 它的特征方程为 r2-5r +6=0. 特征方程有两实根r1?2, r2?3. 于是齐次方程的通解为 Y?C1e2x?C2e3x. 由于λ?2是特征方程的单根, 所以特解应设为 y*?x(b0x?b1)e2x. 解: 把 代入所给方程, 得 ?2b0x?2b0?b1?x. 比较两端x同次幂的系数, 得 -2b0=1, 2b0-b1=0. 于是求得所给方程的一个特解为 从而所给方程的通解为 首页 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 例6 解 对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 对应的齐次方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算 比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 解 请同学们自己算 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐次方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算 上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 解 请同学们自己算 设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=f1(x)与 y??+P(x)y?+Q(x)y=f2(x) 的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)的是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 的特解. 定理4(非齐次方程的解的叠加原理) 简要证明: 这是因为 [ y1*+y2*]???P(x)[y1*+y2*]??Q(x)[y1*+y2*] =[y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*] =f1(x)?f2(x). 结束 例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 二选一 先选0,　再选１. 解 例7 所求通解为